shaitan's blog

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東大2003年前期理系問題6（その4）

箱庭数学

以前の記事：その１、その２、その３

その1ではMachinの公式と\arctanのテイラー展開を用いた解法を紹介したが、この\arctan系公式を用いて\piを手計算で下から評価するならもっとよい方法がある。
それが円周率.jp - arctan系公式に載っているEulerの方法である。
詳細はリンク先を見ていただきたいが、ここではその道具を流用させてもらい、\pi>3.05を示すことにする。

まず、\dfrac\pi4=5\arctan\dfrac17+2\arctan\dfrac3{79}というEulerの公式を示す。
\dfrac\pi4=\arctan1=\arctan\dfrac12+\arctan\dfrac13
=\left(\arctan\dfrac13+\arctan\dfrac17\right)+\arctan\dfrac13
=2\left(\arctan\dfrac17+\arctan\dfrac2{11}\right)+\arctan\dfrac17
=3\arctan\dfrac17+2\left(\arctan\dfrac17+\arctan\dfrac3{79}\right)
=5\arctan\dfrac17+2\arctan\dfrac3{79}

ここで、2\theta>\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\dfrac{\tan\theta}{1+\tan^2\theta}より\arctan x>\dfrac{x}{1+x^2}であるから、x=\dfrac17, \dfrac3{79}を代入して、
\dfrac\pi4>\dfrac{5\cdot7}{1+7^2}+\dfrac{2\cdot3\cdot79}{3^2+79^2}=\dfrac7{10}+\dfrac{474}{6250}>\dfrac7{10}+\dfrac{441}{6300}=0.77。
これより\pi>4\cdot0.77=3.08>3.05。


なお、4\left(\dfrac7{10}+\dfrac{474}{6250}\right)=3.10\ldotsである。
また、\arctan x>\dfrac{x}{1+x^2}は積分表示から\arctan x=\displaystyle\int_0^x\dfrac{\mathrm dy}{1+y^2}>\dfrac1{1+x^2}\displaystyle\int_0^x\mathrm dy=\dfrac{x}{1+x^2}のように導くこともできる。