shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

東大2007年前期理系問題6

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(1)
示すべき不等式は、0< x<1を満たす実数xに対する以下の不等式と同値。
2x<\displaystyle\int_{1-x}^{1+x}\frac{\mathrm{d}t}t<\dfrac{2x}{1-x^2}\quad…☆
(☆の中辺)=\displaystyle\int_{-x}^x\frac{\mathrm{d}t}{1+t}=-\int_x^0\frac{\mathrm{d}t}{1-t}+\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{1+t}=\int_0^x\frac{2\mathrm{d}t}{1-t^2}
ここで、0< t< x のとき 2<\dfrac2{1-t^2}<\dfrac2{1-x^2}であるから、これらをtについて0からxまで積分し、☆を得る。

(2)
0< t< \dfrac12のとき1-t^4<1<1+t^4-2t^6であるから、2(1+t^2)<\dfrac2{1-t^2}<2(1+t^2+2t^4)。
これを(1)の2<\dfrac2{1-t^2}<\dfrac2{1-x^2}の代わりに使うと、☆の代わりに
2x+\dfrac{2x^3}3<\displaystyle\int_{1-x}^{1+x}\frac{\mathrm{d}t}t<2x+\dfrac{2x^3}3+\dfrac{4x^5}5を得る。
これにx=\dfrac13を代入すると、
(左辺)=\dfrac23+\dfrac2{3^4}>0.66+0.02=0.68、
(中辺)=\biggl[\log t\biggr]_{1-\frac13}^{1+\frac13}=\log\dfrac43-\log\dfrac23=\log2、
(右辺)=\dfrac23+\dfrac2{3^4}+\dfrac4{5\cdot3^5}<0.67+0.03+0.01=0.71であるから示された。


(2)の解答が「(1)を利用して」いることになるかどうかは分かりません。