— 不等式bot (@Inequalitybot) September 1, 2019
x=(a+b)/2, y=(a-b)/2とおくと、0≦y≦xであり、x,yは独立。
a=x+y, b=x-y, c=3-2xであるから、
∂a/∂y=1, ∂b/∂y= -1, ∂c/∂y=0。
従って∂f/∂y=b^2-2ab-c^2+2ca=(b+c-2a)(b-c)≦0
これよりy=0のときすなわち(左辺)=a^3+a^2c+ac^2の場合のみ考えればよい。
2a+c=3よりdc/da=-2であるから、d(a^3+a^2c+ac^2)/da=3a^2+2ac-2a^2+c^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2≧0。
より左辺はaについて広義単調増加。
以上より、左辺はa=b=3/2,c=0のときより大きくならないので、
(左辺)≦(3/2)^3=(右辺)。
