京大1983年理系問題5

平面上に動点P,Qがある．Qは時刻0のとき点にあり，速さ1で軸上を正の向きに進む．
他方Pは時刻0のとき点にあり，速さ1で軸上を正の向きに進み，
ある時刻で向きを変え，速さをに変更してQに到達するように直進するものとする．
時刻から到達する時刻までの時間が最小になるようなを求めよ．ただしとする．

Pが向きを変えた後に進む方向の単位ベクトルを $(\cos\theta,\sin\theta)$ ，時刻 $t+s$ にPがQに到達するとおく．
$|t-a|=|\sqrt2s\cos\theta|$ , $|t-b|=|s-\sqrt2s\sin\theta|$ であり，両辺の和を取ると
$|t-a|+|t-b|=|\sqrt2s\cos\theta|+|s-\sqrt2s\sin\theta|=s(|\sqrt2\cos\theta|+|1-\sqrt2\sin\theta|)$ ．
ここで，右辺括弧内を $f(\theta)$ とおき，これが最大になる $\theta$ を考える．
$\sin\theta\geq 0$ のとき $f(-\theta)\geq f(\theta)$ であるから $\pi\leq\theta\leq 2\pi$ の範囲を考えればよく，
このとき $f(\theta)=\sqrt2(|\cos\theta|-\sin\theta)+1$ ．
この右辺括弧内が最大となるのは $\theta=\dfrac54\pi,\dfrac74\pi$ のとき．
この条件は $|t-a|=s, |t-b|=2s$ …①と同値．
また， $a\leq t\leq b$ のとき $|t-a|+|t-b|=b-a$ となるが， $t< a, b< t$ のとき $|t-a|+|t-b|>b-a$ なので
$|t-a|+|t-b|$ が最小となるのは $a\leq t\leq b$ のとき．
この条件は $t-a>0, t-b<0$ …②と同値．
①,②が成立するとき， $t-a=s, t-b=-2s$ なので $t=\dfrac{2a+b}3$ ．
このとき $f(\theta)$ が最大となり $|t-a|+|t-b|$ が最小となるから $s$ は最小となる．

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京大1983年理系問題5