京大1984年理系問題2

定数に対して，等式が全てのについて成り立つとき，関数は周期関数であるといい，
またこの等式を満たすような正の数のうちの最小値をの周期という．
次の関数は周期関数であるか否かを，理由をつけて答えよ．また，周期関数である場合には，その周期を求めよ．
(1) 
(2) 
(3)

(1)
$f(x+2\pi)=\sin(\sin x)=f(x)$ …①であるからこれは周期関数．
$-1\leq\sin x\leq1$ であり， $\sin t$ は $-1\leq t\leq 1$ で単調増加であるから，
$f(x)$ を最大にする $x$ は $\sin x=1$ となる $x$ ，つまり $x=\left(\dfrac12+2n\right)\pi$ ( $n$ :整数)．
周期を $C$ とおくと， $x=\dfrac\pi2+C$ でも $f(x)$ が最大となるから， $C=2n\pi$ と書けることが必要なので $C\geq2\pi$ ．
①とあわせて周期は $2\pi$ ．
(2)
$f(x+\pi)=\cos(-\sin x)=f(x)$ …②であるからこれは周期関数．
$-1\leq\sin x\leq1$ であり， $\cos t$ は $-1\leq t\leq 1$ の範囲で最大値1をとる( $t=0$ )．
$f(x)$ を最大にする $x$ は $\sin x=0$ となる $x$ ，つまり $x=n\pi$ ( $n$ :整数)．
周期を $C$ とおくと， $x=C$ でも $f(x)$ が最大となるから， $C=n\pi$ と書けることが必要なので $C\geq\pi$ ．
②とあわせて周期は $\pi$
(3)
$f(x)$ が周期 $C$ を持つと仮定する．
定義より $f(C)=0$ なので $C^3$ は $\pi$ の正整数倍．
$0\leq x< C$ の範囲で $f(x)=0$ となる $x$ の数は $\dfrac{C^3}{\pi}$ 個．
$C\leq x< 2C$ の範囲で $f(x)=0$ となる $x$ の数は $\dfrac{7C^3}{\pi}$ 個．
これらより， $f(x)\neq0$ かつ $f(x+C)=0$ なる $x$ が存在するので矛盾．
従って $f(x)$ は周期関数ではない．

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京大1984年理系問題2