shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

京大1981年理系問題3

箱庭数学 
kは定数，mは一つの自然数とする．
x>0のとき，つねにx^m-1\leq k(x^{m+1}-1)であるならば，k=\dfrac m{m+1}であることを示せ．

f(x)=x^{\frac m{m+1}}とおく．
x>1のとき，\dfrac{x^m-1}{x^{m+1}-1}\leq kであるから，
\displaystyle k\geq\lim_{x^{m+1}\to 1+0}\frac{x^m-1}{x^{m+1}-1}=f'(1)=\frac m{m+1}．
同様にx<1のときk\leq\dfrac m{m+1}より示された．