京大1979年文理共通問題4

2人の人が1つのサイコロを1回ずつふり，大きい目を出した方を勝ちとすることにした．
ただし，このサイコロは必ずしも正しいものではなく，の目の出る確率はである()．
このとき
(1)引き分けになる確率を求めよ．
(2)であることを示せ．また，ならば，である()ことを示せ．

(1)
引き分けになるのは2人が同じ目を出した場合で，2人がともに $k$ の目をだす確率は $p_k^2$ であるから，
$P=\displaystyle\sum_{k=1}^6p_k^2$ ．
(2)
$\displaystyle\sum_{k=1}^6p_k=1$ なので，
$0\leq\displaystyle\sum_{k=1}^6\left(p_k-\frac16\right)^2=\sum_{k=1}^6p_k^2-2\sum_{k=1}^6\frac{p_k}6+\sum_{k=1}^6\left(\frac16\right)^2=P-\frac16$ ．
従って $P\geq\dfrac16$ で等号成立は $p_k=\dfrac16$ ( $k=1,2,3,4,5,6$ )となる．

shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

京大1979年文理共通問題4