を有理数とし，次の関係をもつを座標にもつ平面上の点を考える; いま，がともに有理数で，かつは原点でないとする． このとき，すべてのは有理数であり，点は原点を中心とする定円上にあることを示せ． …① …②である． (①+②×)÷よりであるから， が有理数なら…

は定数，は一つの自然数とする． のとき，つねにであるならば，であることを示せ． とおく． のとき，であるから， ． 同様にのときより示された．

2人の人が1つのサイコロを1回ずつふり，大きい目を出した方を勝ちとすることにした． ただし，このサイコロは必ずしも正しいものではなく，の目の出る確率はである()． このとき (1)引き分けになる確率を求めよ． (2)であることを示せ．また，ならば，である…

とする． すべてのに対してが成り立つように，定数を定めよ． とおくと． 従ってなので． ここで，ある定数が存在しと書ける． より. 両辺の最大値はそれぞれであり，両者は等しいので． とあわせて． このときを満たすにはであることが必要十分なので (:整…

を正の数とするとき，不等式 を証明せよ．また，等号が成立するのはどんな場合か． (右辺)-(左辺). なぜなら，中辺の括弧内はの相加平均から相乗平均を引いたものであるから． 等号成立はのとき．