shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

京大1979年文理共通問題2

箱庭数学

とする．
すべてのに対してが成り立つように，定数を定めよ．

$g(x)=af(x)+bf(x-c)-1$ とおくと $g(x)=0$ ．
従って $0=g''(x)+g(x)=a+b-1$ なので $a+b=1$ ．
ここで，ある定数 $\theta$ が存在し $2\cos x+3\sin x=\sqrt{13}\sin(x+\theta)$ と書ける．
$g(x)=0$ より $a\sqrt{13}\sin(x+\theta)=-b\sqrt{13}\sin(x+\theta-c)$ .
両辺の最大値はそれぞれ $|a|\sqrt{13},|b|\sqrt{13}$ であり，両者は等しいので $|a|=|b|$ ．
$a+b=1$ とあわせて $a=b=\dfrac12$ ．
このとき $g(x)=0$ を満たすには $\sin(x+\theta)=-\sin(x+\theta-c)$ であることが必要十分なので $c=(2n+1)\pi$ ( $n$ :整数)．