京大1986理系問題1 - shaitan's blog

<br /> 問題文

大学入試数学問題集成 > 1986 京都大学文科系・理科系MathJax

$i\leq j$ のとき $a_i\leq a_j$ であるから， $na_1\leq\displaystyle\sum_{i=1}^na_i=0\leq na_n$ ．
これより， $a_k\leq 0\leq a_{k+1}$ を満たす $k$ が存在し， $(i-k)a_i\geq 0$ ．
従って $\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i=\sum_{i=1}^n(i-k)a_i\geq0$ ．
等号が成立すると仮定すると $a_i=0\quad(i\neq k)$ より $a_k=\displaystyle-\sum_{i\neq k}a_i=0$ より $a_1, a_2,\ldots,a_n$ が全て0となり不適．
よって等号は不成立なので $a_1+ 2a_2+ \cdots+ na_n>0$ .

[2022.11.25 追記]
$n$ 次の置換 $\sigma$ を考える。 $S(\sigma)=\sum_{i=1}^n\sigma(i)a_i$ は、 $\sigma$ が恒等置換のとき最大となることを示す。
$\sigma$ が恒等置換でないとき、 $\sigma(i)>\sigma(j)$ となる $i< j$ が存在するが、このとき、 $\left[\sigma(j)a_i+\sigma(i)a_j\right]- \left[\sigma(i)a_i+\sigma(j)a_j\right]=\left[\sigma(i)-\sigma(j)\right]\left[a_j-a_i\right]\geq0$ であるから、 $\sigma$ は $S(\sigma)$ を最大にしない。 $\sigma$ は高々有限なので最大値を与える $\sigma$ が存在するがそれは恒等置換である。
これより、 $\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i\geq\dfrac1{n!}\sum_\sigma S(\sigma)=\sum_{i=1}^na_i=0$ 。
等号成立は任意の $i, j$ について $a_i=a_j$ のときであるが、このとき $a_1, a_2,\ldots,a_n$ が全て0となり不適。よって示された。

大学入試だと「並べ替え不等式より」の一言で済まして良いか分からなかったので証明をしている。

[2022.11.25 追記2]
$\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i=\sum_{i=1}^nia_i-\left(\dfrac{n+1}2\right)\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^n\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i$ $\displaystyle=\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i+\sum_{i=\lceil n/2\rceil+1}^n\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i$ $=\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i+\sum_{j=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(\dfrac{n+1}2-j\right)a_{n+1-j}$ $=\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(\dfrac{n+1}2-i\right)\left(a_{n+1-i}-a_i\right)\geq0$
等号成立には $a_n=a_1$ が必要であり、このとき $a_1, a_2,\ldots,a_n$ が全て0となり不適。よって示された。

[2022.11.25 追記3]
$0=\displaystyle\sum_{i=1}^na_i\leq na_n$ であり、等号成立は $a_1, a_2,\ldots,a_n$ が全て0のときなので $a_n>0$ である。
数学的帰納法で示す。
$n=2$ のとき $a_1+2a_2=a_2>0$ より成り立つ。
$n=k$ のときの成立を仮定する。 $n=k+1$ のとき、 $b_i=\begin{cases}a_i & i< k\\a_k+a_{k+1}&i=k\end{cases}$ と定義すると、帰納法の仮定より
$\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}ia_i=\sum_{i=1}^{k}ib_i+a_{k+1}>0$ となり $n=k+1$ のときも成立する。
以上より示された。

[2022.11.25 追記4]
$a_1$ から $a_k$ までの平均値を $m_k$ 、 $a_{k+1}$ から $a_n$ までの平均値を $M_k$ とおく。問題の条件より $m_k\leq M_k$ 、 $km_k+(n-k)M_k=0$ であるから $M_k\geq0$ となる（ $k=0$ のときもこの不等式は成立する）。
$\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i=\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)M_k\geq0$ であり、等号成立は $M_k=0$ $(0\leq k\leq n-1)$ のとき。このとき $a_j=(n-j+1)M_{j-1}-(n-j)M_j=0$ $(1\leq j\leq n-1)$ 、 $a_n=M_{n-1}=0$ となりすべて0なので不適。

[2022.11.26 追記]
$\dfrac{ia_i+ja_j}{i+j}\geq\dfrac{a_i+a_j}2$ である。なぜなら左辺は $a_i, a_j$ の小さくない方に重みのついている加重平均であり、右辺は相加平均だからである。
よって $\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i$ $\displaystyle=\dfrac12\sum_{i=1}^n\left[ia_i+(n+1-i)a_{n+1-i}\right]$ $\displaystyle\geq\dfrac12\sum_{i=1}^n\dfrac{n+1}2(a_i+a_{n+1-i})$ $\displaystyle=\dfrac{n+1}2\sum_{i=1}^na_i=0$
等号成立には $a_n=a_1$ が必要であり、このとき $a_1, a_2,\ldots,a_n$ が全て0となり不適。よって示された。