shaitan's blog

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2014年東工大前期問題1

箱庭数学

2014 東京工業大学 前期MathJax

(1)
a_3=\displaystyle\frac16\sum_{k=1}^2(k-1)k(k+1)=1, b_3=\dfrac{3^2-1}8=1 はいずれも整数である。
a_{n+2}-a_n=\displaystyle\frac16\sum_{k=n}^{n+1}(k-1)k(k+1)=\frac{n(n+1)(2n+1)}6=\sum_{k=1}^nk^2,
b_{n+2}-b_n=\dfrac{(n+2)^2-n^2}8=\dfrac{n+1}2 は整数である（n は奇数なので）。
以上より、これらの和で表される a_n, b_n は任意の奇数nについて整数である。

(2)
a_3-b_3=0 は4の倍数であり、(a_{n+2}-b_{n+2})-(a_n-b_n)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6-\dfrac{n+1}2=\dfrac{(n+1)(n-1)(2n+3)}6=\dfrac{4(2n+3)b_n}3 である。(1)の結果よりこれは整数であり、分子が奇数、分母が4の倍数なのでこれは4の倍数。したがって、これらの和で表される a_n-b_n は任意の奇数nについて4の倍数である。