京大1977年文系問題6

であるような△において，辺の三等分点をとる()．このとき，
(1) ととの大小関係をしらべよ．
(2) ととの大小関係をしらべよ．

(1)
$\dfrac13\vec{AB}=\vec{b},\dfrac13\vec{AC}=\vec{c}$ とおく．
$AM^2=|2\vec b+\vec c|^2=4|\vec b|^2+|\vec c|^2+4\vec b\cdot\vec c >|\vec b|^2+4|\vec c|^2+4\vec b\cdot\vec c =|\vec b+2\vec c|^2=AN^2$ より
$AM>AN$
(2)
$BM,CN$ を底辺と考えると△ $BAM$ と△ $CAN$ の面積は等しいので， $\dfrac12AB\cdot AM\sin∠BAM=\dfrac12AC\cdot AN\sin∠CAN$ ．
$AB>AC, AM>AN$ より $\sin∠BAM<\sin∠CAN$ ．
△ $AMN$ を考えると， $AM>AN$ より $∠AMN$ は鈍角ではない．
これより $∠BAM=∠AMN-∠ABM$ も鈍角ではない．
従って $∠BAM<∠CAN$ ．

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長文書きたいときに使う．

京大1977年文系問題6