shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

京大2009年前期理系甲問題4

箱庭数学 
A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}をad-bc=1をみたす行列(a,\ b,\ c,\ dは実数)とし，正の整数nに対して
\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}
によりx_n,\ y_nを定める．x_2^2+y_2^2=x_3^2+y_3^2=1ならばすべてのnに対してx_n^2+y_n^2=1であることを示せ．

a+d=tとおくとケーリー・ハミルトンの定理よりA^2=tA-E．
\vec{r_n}=\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}を右からかけて\vec{r_{n+2}}=t\vec{r_{n+1}}-\vec{r_n}．
ここで，n< k+3のとき|\vec{r_n}|^2=1と仮定すると，
|\vec{r_{k+3}}|^2=|t\vec{r_{k+2}}-\vec{r_{k+1}}|^2=(t^2+1)-2t\vec{r_{k+2}}\cdot\vec{r_{k+1}}=|t\vec{r_{k+1}}-\vec{r_{k+2}}|^2=|\vec{r_k}|^2=1よりn= k+3のときも|\vec{r_n}|^2=1が成立する．
|\vec{r_1}|^2=|\vec{r_2}|^2=|\vec{r_3}|^2=1であるから，数学的帰納法により全てのnについて|\vec{r_n}|^2=1より示された．