不等式bot問題172 - shaitan's blog

問題172 pic.twitter.com/nCtufywOJQ
— 不等式bot (@Inequalitybot) 2020年11月21日

$(a,b,c)$ と $(a^2,b^2,c^2)$ にCauchy–Schwarzで $(a^3+b^3+c^3)^2\leq(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4)$ より $a^3+b^3+c^3\leq a^2+b^2+c^2$ 。
$(\sqrt a,\sqrt b,\sqrt c)$ と $(a\sqrt a,b\sqrt b,c\sqrt c)$ にCauchy–Schwarzで $(a^2+b^2+c^2)^2\leq(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)\leq(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ であるから $a^2+b^2+c^2\leq a+b+c$ 。
Titu's Lemmaを使って
$\mathrm{LHS}=\displaystyle\sum_{\mathrm{cyc.}}\dfrac{a^2}{a^3+ab^3+ac^3}\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}\geq1$ 。

$a^3+b^3+c^3\leq a+b+c$ はもっと簡単に示せそうな気がする。