shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

ΣΣΣ積分ΣΣΣbot[4][5][6]


与式の値はいずれも同じ*1なのでこれをIとおく。
I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\log\left(2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2\right)dx
\displaystyle=\dfrac\pi2\log2+2\int_0^{\frac\pi4}\log(\sin y)dy+2\int_0^{\frac\pi4}\log(\cos y)dy\qquad\left(y=\dfrac x2 \text{と置換}\right)
\displaystyle=\dfrac\pi2\log2+2\int_0^{\frac\pi4}\log(\sin y)dy+2\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\log(\sin z)dz\qquad\left(z=\dfrac\pi2-y \text{と置換}\right)
\displaystyle=\dfrac\pi2\log2+2I
従ってI=-\dfrac\pi2\log2である。



\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\theta\cot\theta d\theta=\lim_{\varepsilon\to0}\Bigl[\theta\log(\sin\theta)\Bigr]_\varepsilon^{\frac\pi2}-\int_0^{\frac\pi2}\log(\sin\theta)d\theta=\dfrac\pi2\log2.



\displaystyle\int_0^1\dfrac{\arcsin x}xdx=\int_0^{\frac\pi2}\theta\cot\theta d\theta=\dfrac\pi2\log2\qquad(\theta=\arcsin x\text{と置換}).

*1:y=\dfrac\pi2-xと置換すればよい。