shaitan's blog

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1998年北大後期理系問題2

箱庭数学

北大理系 1998後期 2

\dfrac{2^n}{n!}=\dfrac1{n!}\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\binom n{k-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac1{(k-1)!(n+1-k)!} であるから、a_n=\dfrac1{(n-1)!} は与えられた条件を満たす。
a_{n+1}=\dfrac{2^{n-1}}{n!}-\dfrac12\displaystyle\sum_{k=2}^na_ka_{n+2-k} より \{a_n\} は帰納的に一意に定まるので、これ以外に条件を満たす \{a_n\} は存在しない。
これらより、求める一般項は a_n=\dfrac1{(n-1)!} である。