2013年奈良県立医科大学前期医学科問題4

2013 奈良県立医科大学前期医学科

点P (2cosθ, sinθ) とおくと、接線の式は $\dfrac{\cos\theta x}2+\sin\theta y=1$ であるから、A $\left(\dfrac2{\cos\theta}, 0\right)$ , B $\left(0,\dfrac1{\sin\theta}\right)$ となる。したがって、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(-\dfrac2{\cos\theta}, \dfrac1{\sin\theta}\right)$ なので、 $\overrightarrow x=(-\cos\theta, \sin\theta)$ とおくと、 $\mathrm{AB}=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow x|\geq\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow x=3$ である。等号成立は $-\dfrac{2\sin\theta}{\cos\theta}=-\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ つまり $\tan\theta=\dfrac12$ のとき。これを満たすθに対しPは第一象限にあるので、求める最小値は3である。

（A, Bの座標をθで表すところまで同様）
相加平均と調和平均の関係より
$\mathrm{AB}^2=\dfrac2{\cos^2\theta}+\dfrac2{\cos^2\theta}+\dfrac1{\sin^2\theta}\geq\dfrac{3^2}{\frac{\cos^2\theta}2+\frac{\cos^2\theta}2+\sin^2\theta}=3^2$
（以下同様）

座標軸で切り取られる線分の長さが一定の図形（アステロイド）を使ってうまいこと解けないか考えてたけど思いつかなかった。
二番目の解で相加平均と調和平均の関係を使っている。この関係は様々な不等式から示すことができ（2001年九大後期理系問題2 - shaitan's blog）、本問でもこれらの手法を直接使って解くこともできる。