1997年名古屋大前期理系問題4(a)（文系問題3(a), 経済学部問題1）

1997 名古屋大学前期MathJax

均質な材質で出来た直方体なので、ある面が出る確率と反対側の面の出る確率は等しい*1。
つまり、出る確率が $\dfrac19$ の面が2つ、 $\dfrac14$ の面が2つ、 $\dfrac12\left(1-\dfrac19-\dfrac14\right)=\dfrac5{36}$ の面が2つある。それぞれの確率に対し、出る2面の数の和を $a, b, c$ とおくと、出る目の期待値は $3=\dfrac a9+\dfrac b4+\dfrac{5c}{36}=\dfrac{4a+9b+5c}{36}$ …(☆)となる。これより $0\equiv4a+9b+5c\equiv4(a-c)\pmod9$ であるが、 $|a-c|\leq(5+6-1-2)=8$ であるから $a=c$ となる。これを☆に代入して $a+b=12$ である。目の総和を考えると $a+b+c=21$ であるから、 $a=c=9, b=3$ となる。これより、3の反対側の面は6である。