shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

東大2015年前期理系問題2

箱庭数学 
問題略

文字を書いている途中で文字列の長さがk\,(k < n)となる確率をp_kとする。
k\geq0のとき、文字列の長さがk+1とならないのは、文字列の長さがkとなり、その次にAAと書く場合のみであるから1-p_{k+1}=\dfrac12p_kである。
p_0=1と合わせてこの漸化式を解くと p_k=\dfrac23+\dfrac13\left(-\dfrac12\right)^k。
ここでp_{-1}=0であるから、これはk\geq-1で成立する。

(1)
左からn番目がAにならないのは、文字列の長さがn-1となり、その次にAA以外が書かれる場合のみであるから、求める確率は1-p_{n-1}\cdot\dfrac12=p_n=\dfrac23+\dfrac13\left(-\dfrac12\right)^n。

(2)
左からn-1番目がAでn番目がBとなるのは、文字列の長さがn-3となり、その次にAA、Bの順に書かれる場合のみであるから、求める確率はp_{n-3}\cdot\dfrac12\cdot\dfrac16=\dfrac1{18}-\dfrac29\left(-\dfrac12\right)^n。


文系問題4が類題であり、微妙に設定を変えてあるが問題としてはほぼ同じ。なぜ共通問題にしなかったのかは謎。