京大1970年理系問題3

空間に2直線がある．
の上にそれぞれ3点がこの順にあって，
であるとする．
線分の中点をそれぞれとするとき，
3点は同一直線の上にあることを証明せよ．

$A_1, A_3, B_1, B_3$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a_1},\vec{a_3},\vec{b_1},\vec{b_3}$ とおき，
$A_1A_2 : A_2A_3=B_1B_2:B_2B_3=s:t\quad(s+t=1)$ とおく．
$A_2, B_2$ の位置ベクトルはそれぞれ $t\vec{a_1}+s\vec{a_3}, t\vec{b_1}+s\vec{b_3}$ であるから
$M_2$ の位置ベクトルは $t(\frac{\vec{a_1}+\vec{b_1}}2)+s(\frac{\vec{a_3}+\vec{b_3}}2)$ と書ける．
ここで $\frac{\vec{a_1}+\vec{b_1}}2, \frac{\vec{a_3}+\vec{b_3}}2$ はそれぞれ $M_1,M_3$ の位置ベクトルなので， $M_2$ は $M_1M_3$ 上にある．

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京大1970年理系問題3