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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1970年理系問題3

空間に2直線l,gがある.
l,gの上にそれぞれ3点A_1, A_2, A_3; B_1, B_2, B_3がこの順にあって,
A_1A_2=B_1B_2, A_2A_3=B_2B_3であるとする.
線分A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3の中点をそれぞれM_1,M_2,M_3とするとき,
3点M_1,M_2,M_3は同一直線の上にあることを証明せよ.

A_1, A_3, B_1, B_3の位置ベクトルをそれぞれ\vec{a_1},\vec{a_3},\vec{b_1},\vec{b_3}とおき,
 A_1A_2 : A_2A_3=B_1B_2:B_2B_3=s:t\quad(s+t=1)とおく.
A_2, B_2の位置ベクトルはそれぞれt\vec{a_1}+s\vec{a_3}, t\vec{b_1}+s\vec{b_3}であるから
M_2の位置ベクトルはt(\frac{\vec{a_1}+\vec{b_1}}2)+s(\frac{\vec{a_3}+\vec{b_3}}2)と書ける.
ここで\frac{\vec{a_1}+\vec{b_1}}2, \frac{\vec{a_3}+\vec{b_3}}2はそれぞれM_1,M_3の位置ベクトルなので,M_2M_1M_3上にある.