shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

東大1990年前期理系問題1

箱庭数学 
\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{k}}, b_n=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{2k+1}}とするとき，
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n, \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}を求めよ．

\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{k}}\geq\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\to\infty\quad(n\to\infty)より\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty.

\displaystyle \frac{a_n}{\sqrt2}=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{2k}}>\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{2k+1}}=b_n>\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{2k+2}}=\frac{a_{n+1}-1}{\sqrt2}>\frac{a_n-1}{\sqrt2}.
従って\displaystyle \frac1{\sqrt2}>\frac{b_n}{a_n}>\frac1{\sqrt2}\left(1-\frac1{a_n}\right)\to\frac1{\sqrt2}\quad(n\to\infty).
はさみうちの原理により\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\frac1{\sqrt2}.