p,qを自然数, ,を を満たす実数とする. このとき, を満たすp,qの組(p,q)をすべて求めよ.
よりであるから、
の両辺をで割ってとなる。
これよりである。
ここで、ならば(☆)が成立する。
さて、を既約分数で表すことを考える。aは2p-1の約数なので奇数であるからは2で約分できる。また、とqは互いに素であることに注意すると、。
が偶数であることよりqは奇数なのでq≧3であるから、
よりp<3。
また、aが2p-1の約数なので2p-1≧a=q≧3よりp≧2であるからp=2。
従って、なのでq=a=3。
このときが成立しており、☆はでないときには成立しない(中辺の分母を払うとの一次方程式となるため)ことから確かにである。
以上より、(p,q)=(2,3)。
既約分数を出さなくても、分母を払って偶奇を比較すればqが奇数であることを言えるのでq≧3からp<3としてp=1,2の場合で二次方程式を解けばよいのだが、場合分けも二次方程式を解くのもあんまり好きではないから避けた。