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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京都大学2017年前期理系問題3

箱庭数学
p,qを自然数, \alpha,\beta\tan\alpha=\dfrac1p,\quad \tan\beta=\dfrac1q
を満たす実数とする. このとき,
\tan(\alpha+2\beta)=2
を満たすp,qの組(p,q)をすべて求めよ.

\dfrac{2p-1}{p+2}=\dfrac{\tan(\alpha+2\beta)-\tan\alpha}{1+\tan(\alpha+2\beta)\tan\alpha}=\tan2\beta=\dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\dfrac{2q}{q^2-1}
である。よってq≠1。
ここで、上式の値を既約分数\dfrac abで表すことを考える。aは2p-1の約数なので奇数であるから\dfrac{2q}{q^2-1}は2で約分できる。また、q^2-1とqは互いに素であることに注意すると、a=q, b=\dfrac{q^2-1}2
q^2-1が偶数であることよりqは奇数なのでq≧3であるから、
\dfrac{2q}{q^2-1}= \dfrac{2}{q-1}\cdot \dfrac{q}{q+1}<1\cdot1=1
これより、\dfrac{2p-1}{p+2}<1なのでp<3。
また、aが2p-1の約数なので2p-1≧a=q≧3よりp≧2であるからp=2。
従って、\dfrac ab=\dfrac{2p-1}{p+2}=\dfrac34なのでq=a=3。このとき確かにb=\dfrac{q^2-1}2=4が成立する。
以上より、(p,q)=(2,3)。

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既約分数を出さなくても、分母を払って偶奇を比較すればqが奇数であることを言えるのでq≧3からp<3としてp=1,2の場合で二次方程式を解けばよいのだが、場合分けも二次方程式を解くのもあんまり好きではないから避けた。