shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大2017年前期理系問題3

p,qを自然数, \alpha,\beta\tan\alpha=\dfrac1p,\quad \tan\beta=\dfrac1q
を満たす実数とする. このとき,
\tan(\alpha+2\beta)=2
を満たすp,qの組(p,q)をすべて求めよ.

\tan\beta=\dfrac1q\neq0より\sin\beta\neq0であるから、
\tan2\beta\cos2\beta=\sin2\betaの両辺を\sin^2\betaで割って\tan2\beta(1-\tan^2\beta)=2\tan\betaとなる。
これより\tan2\beta=\dfrac{2q^{-1}}{1-q^{-2}}=\dfrac{2q}{q^2-1}である。
ここで、\tan(\alpha+2\beta)=2ならば\tan2\beta=\dfrac{\tan(\alpha+2\beta)-\tan\alpha}{1+\tan(\alpha+2\beta)\tan\alpha}=\dfrac{2p-1}{p+2}(☆)が成立する。
さて、\tan\betaを既約分数\dfrac abで表すことを考える。aは2p-1の約数なので奇数であるから\dfrac{2q}{q^2-1}は2で約分できる。また、q^2-1とqは互いに素であることに注意すると、a=q, b=\dfrac{q^2-1}2
q^2-1が偶数であることよりqは奇数なのでq≧3であるから、
\dfrac{2p-1}{p+2}=\dfrac{2q}{q^2-1}= \dfrac{2}{q-1}\cdot \dfrac{q}{q+1}<1\cdot1=1よりp<3。
また、aが2p-1の約数なので2p-1≧a=q≧3よりp≧2であるからp=2。
従って、\dfrac ab=\dfrac{2p-1}{p+2}=\dfrac34なのでq=a=3。
このとき\dfrac ab=\dfrac{2q}{q^2-1}が成立しており、☆は\tan(\alpha+2\beta)=2でないときには成立しない(中辺の分母を払うと\tan(\alpha+2\beta)の一次方程式となるため)ことから確かに\tan(\alpha+2\beta)=2である。
以上より、(p,q)=(2,3)。

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既約分数を出さなくても、分母を払って偶奇を比較すればqが奇数であることを言えるのでq≧3からp<3としてp=1,2の場合で二次方程式を解けばよいのだが、場合分けも二次方程式を解くのもあんまり好きではないから避けた。