2014-06-22

京大2006年後期理系問題6(文系問題5)

は有理数か．

$\tan1^\circ$ が有理数であると仮定する．
$\tan1^\circ=\dfrac mn$ ( $m,\ n$ :整数)と書け， $z=n+mi$ とおくと $\arg z=1^\circ$ .
これより $\arg z^{60}=60^\circ$ なので， $\sqrt3=\tan60^\circ = \dfrac{\mathop{\rm Im}z^{60}}{\mathop{\rm Re}z^{60}}$ であるが，
右辺は分子分母ともに整数であるから有理数となり矛盾．
つまり $\tan1^\circ$ は有理数ではない．

2014-06-21

京大1995年後期理系問題3

箱庭数学

は実数でとする．

とおく．をみたすすべてのに対してが成り立つとき，
をみたすすべてのに対してが成り立つことを示せ．

$|q(\pm1)|=|p(\pm1)|\leq1$ であるから， $-1\leq x\leq1$ の範囲で $q(x)$ が極値を持つときにその極値の絶対値が2以下となることを示せば良い．
$q(x)=c\left(x+\dfrac b{2c}\right)^2+a-\dfrac{b^2}{4c}$ であるから， $x=-\dfrac b{2c}$ のとき極値 $a-\dfrac{b^2}{4c}$ をとる．
$-1\leq x\leq1$ の範囲で $q(x)$ が極値を持つとき $c\neq0,\ -1\leq \dfrac b{2c}\leq1$ であり，
このとき， $a-b\leq a-\dfrac{b^2}{4c}\leq a+b$ ．
$|a\pm b|\leq|a\pm b+c|+|c|=|p(\pm1)|+|p(0)|\leq2$ より $\left|a-\dfrac{b^2}{4c}\right|\leq 2$ なので示された．

2014-06-21

京大1993年後期理系問題4

箱庭数学

は正の定数とする．不等式がすべての正の数について成り立つという．
このときはどのようなものか．

$x=1$ のとき等号が成立する．
$f(x)=a^x$ とおくと $f'(x)=(\log a)a^x$ であり $f'(1)=a\log a$ ．
$x>1$ のとき $\dfrac{a^x-a}{x-1}\geq\dfrac{ax-a}{x-1}= a$ であり，この左辺の $x\to 1+0$ の極限を取るとこれは $f'(1)$ に等しい．
つまり $a\log a\geq a$ ．
$x<1$ のとき同様の変形をして $x\to1-0$ の極限をとって $a\log a\leq a$ ．
以上より $a=e$ ．

2014-06-21

京大1991年前期理系問題4

箱庭数学

実数に対し次の不等式の成り立つことを示せ．

$\tan a,\ \tan b\geq 0$ であり相乗平均≦相加平均なので(与式左辺)≦(与式右辺)…①．
$\tan(a+b)$ の加法定理より
$\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\dfrac{2\tan\frac{a+b}2}{1-\tan^2\frac{a+b}2}$ …②
$0\leq\tan a,\ \tan b,\ \tan\left(\dfrac{a+b}2\right)<1$ より両辺の分子分母ともに正．
(与式左辺)>(与式中辺)と仮定すると，(②の左辺分母)<(②の右辺分母)より(②の左辺分子)<(②の右辺分子)すなわち(与式右辺)<(与式中辺)となり①に反する．
従って(与式左辺)≦(与式中辺)であるから同様に(与式右辺)≧(与式中辺)．

2014-06-21

京大1990年前期理系問題2

箱庭数学

三角形ABCにおいて，∠B=60°,Bの対辺の長さは整数，他の2辺の長さはいずれも素数である．
このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ．

∠A=60°のとき三角形ABCは正三角形である．
∠A<60°とすると60°<120°-∠A=∠C<120°であり，正弦定理より $a< b< c$ となる．
三角不等式 $b-a< c< b+a$ より $0< b-a< c< b+a<2c$ なので $b\pm a$ は素数 $c$ と互いに素．
余弦定理より $b^2=a^2+c^2-ac$ つまり $c(c-a)=(b+a)(b-a)$ であるが，左辺は $c$ で割り切れ右辺はそうでないから矛盾．
∠A>60°のとき∠C<60°であり同様に矛盾．

2014-06-21

京大1986理系問題1

箱庭数学

<br /> 問題文

大学入試数学問題集成 > 1986 京都大学文科系・理科系MathJax

$i\leq j$ のとき $a_i\leq a_j$ であるから， $na_1\leq\displaystyle\sum_{i=1}^na_i=0\leq na_n$ ．
これより， $a_k\leq 0\leq a_{k+1}$ を満たす $k$ が存在し， $(i-k)a_i\geq 0$ ．
従って $\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i=\sum_{i=1}^n(i-k)a_i\geq0$ ．
等号が成立すると仮定すると $a_i=0\quad(i\neq k)$ より $a_k=\displaystyle-\sum_{i\neq k}a_i=0$ より $a_1, a_2,\ldots,a_n$ が全て0となり不適．
よって等号は不成立なので $a_1+ 2a_2+ \cdots+ na_n>0$ .

[2022.11.25 追記]
$n$ 次の置換 $\sigma$ を考える。 $S(\sigma)=\sum_{i=1}^n\sigma(i)a_i$ は、 $\sigma$ が恒等置換のとき最大となることを示す。
$\sigma$ が恒等置換でないとき、 $\sigma(i)>\sigma(j)$ となる $i< j$ が存在するが、このとき、 $\left[\sigma(j)a_i+\sigma(i)a_j\right]- \left[\sigma(i)a_i+\sigma(j)a_j\right]=\left[\sigma(i)-\sigma(j)\right]\left[a_j-a_i\right]\geq0$ であるから、 $\sigma$ は $S(\sigma)$ を最大にしない。 $\sigma$ は高々有限なので最大値を与える $\sigma$ が存在するがそれは恒等置換である。
これより、 $\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i\geq\dfrac1{n!}\sum_\sigma S(\sigma)=\sum_{i=1}^na_i=0$ 。
等号成立は任意の $i, j$ について $a_i=a_j$ のときであるが、このとき $a_1, a_2,\ldots,a_n$ が全て0となり不適。よって示された。

大学入試だと「並べ替え不等式より」の一言で済まして良いか分からなかったので証明をしている。

[2022.11.25 追記2]
$\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i=\sum_{i=1}^nia_i-\left(\dfrac{n+1}2\right)\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^n\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i$ $\displaystyle=\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i+\sum_{i=\lceil n/2\rceil+1}^n\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i$ $=\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i+\sum_{j=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(\dfrac{n+1}2-j\right)a_{n+1-j}$ $=\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(\dfrac{n+1}2-i\right)\left(a_{n+1-i}-a_i\right)\geq0$
等号成立には $a_n=a_1$ が必要であり、このとき $a_1, a_2,\ldots,a_n$ が全て0となり不適。よって示された。

[2022.11.25 追記3]
$0=\displaystyle\sum_{i=1}^na_i\leq na_n$ であり、等号成立は $a_1, a_2,\ldots,a_n$ が全て0のときなので $a_n>0$ である。
数学的帰納法で示す。
$n=2$ のとき $a_1+2a_2=a_2>0$ より成り立つ。
$n=k$ のときの成立を仮定する。 $n=k+1$ のとき、 $b_i=\begin{cases}a_i & i< k\\a_k+a_{k+1}&i=k\end{cases}$ と定義すると、帰納法の仮定より
$\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}ia_i=\sum_{i=1}^{k}ib_i+a_{k+1}>0$ となり $n=k+1$ のときも成立する。
以上より示された。

[2022.11.25 追記4]
$a_1$ から $a_k$ までの平均値を $m_k$ 、 $a_{k+1}$ から $a_n$ までの平均値を $M_k$ とおく。問題の条件より $m_k\leq M_k$ 、 $km_k+(n-k)M_k=0$ であるから $M_k\geq0$ となる（ $k=0$ のときもこの不等式は成立する）。
$\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i=\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)M_k\geq0$ であり、等号成立は $M_k=0$ $(0\leq k\leq n-1)$ のとき。このとき $a_j=(n-j+1)M_{j-1}-(n-j)M_j=0$ $(1\leq j\leq n-1)$ 、 $a_n=M_{n-1}=0$ となりすべて0なので不適。

[2022.11.26 追記]
$\dfrac{ia_i+ja_j}{i+j}\geq\dfrac{a_i+a_j}2$ である。なぜなら左辺は $a_i, a_j$ の小さくない方に重みのついている加重平均であり、右辺は相加平均だからである。
よって $\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i$ $\displaystyle=\dfrac12\sum_{i=1}^n\left[ia_i+(n+1-i)a_{n+1-i}\right]$ $\displaystyle\geq\dfrac12\sum_{i=1}^n\dfrac{n+1}2(a_i+a_{n+1-i})$ $\displaystyle=\dfrac{n+1}2\sum_{i=1}^na_i=0$
等号成立には $a_n=a_1$ が必要であり、このとき $a_1, a_2,\ldots,a_n$ が全て0となり不適。よって示された。

2014-06-20

京大1984年理系問題5

箱庭数学

つぼの中に個（）の赤球と，個（）の白球が入っている．
AとBの2人が，交互に球を1個ずつとり出し，先に赤球をとり出した者を勝者とするゲームをする．
ただし，とり出した球は，もとにもどさないものとする．
(1) ちょうど回目（すなわちA，B2人のとり出した球の合計が，ちょうど個になった時）に勝者が
きまる確率をとするとき，となることを示せ．
(2) このゲームをAからはじめるとする．任意のに対して，Aが勝者となる確率は，またはそれ
以上であることを示せ．
また，Aが勝者となる確率がとなるための，との条件を求めよ．

(1)
勝敗にかかわらず $i+1$ 回球を取り出すことを考える．
$i$ 回目に赤， $i+1$ 回目に白が出る確率と $i$ 回目に白， $i+1$ 回目に赤が出る確率は等しく，これを $a$ とおき，
$i$ 回目と $i+1$ 回目にともに赤が出る確率を $b$ とおき， $i$ 回目までに赤が出ない確率を $c$ とおく．
すると， $P_i=(a+b)c\geq ac=P_{i+1}$
(2)
(Aが勝者となる確率)-(Bが勝者となる確率) $\displaystyle=\sum_{i=1}^{r+s}P_i(-1)^{i-1}\geq\sum_{k=1}^{[\frac{r+s}2]}(P_{2k-1}-P_{2k})\geq0$ …☆
引き分けは存在しないので，(Aが勝者となる確率) $\geq\dfrac12$ ．
また，☆の右の不等号の等号成立条件は(1)より $b=0$ つまり $r=1$ ．
左の不等号のそれは $r+s$ が偶数であること，つまり $s$ が奇数であること．