2014-06-20

京大1984年理系問題2

箱庭数学

定数に対して，等式が全てのについて成り立つとき，関数は周期関数であるといい，
またこの等式を満たすような正の数のうちの最小値をの周期という．
次の関数は周期関数であるか否かを，理由をつけて答えよ．また，周期関数である場合には，その周期を求めよ．
(1) 
(2) 
(3)

(1)
$f(x+2\pi)=\sin(\sin x)=f(x)$ …①であるからこれは周期関数．
$-1\leq\sin x\leq1$ であり， $\sin t$ は $-1\leq t\leq 1$ で単調増加であるから，
$f(x)$ を最大にする $x$ は $\sin x=1$ となる $x$ ，つまり $x=\left(\dfrac12+2n\right)\pi$ ( $n$ :整数)．
周期を $C$ とおくと， $x=\dfrac\pi2+C$ でも $f(x)$ が最大となるから， $C=2n\pi$ と書けることが必要なので $C\geq2\pi$ ．
①とあわせて周期は $2\pi$ ．
(2)
$f(x+\pi)=\cos(-\sin x)=f(x)$ …②であるからこれは周期関数．
$-1\leq\sin x\leq1$ であり， $\cos t$ は $-1\leq t\leq 1$ の範囲で最大値1をとる( $t=0$ )．
$f(x)$ を最大にする $x$ は $\sin x=0$ となる $x$ ，つまり $x=n\pi$ ( $n$ :整数)．
周期を $C$ とおくと， $x=C$ でも $f(x)$ が最大となるから， $C=n\pi$ と書けることが必要なので $C\geq\pi$ ．
②とあわせて周期は $\pi$
(3)
$f(x)$ が周期 $C$ を持つと仮定する．
定義より $f(C)=0$ なので $C^3$ は $\pi$ の正整数倍．
$0\leq x< C$ の範囲で $f(x)=0$ となる $x$ の数は $\dfrac{C^3}{\pi}$ 個．
$C\leq x< 2C$ の範囲で $f(x)=0$ となる $x$ の数は $\dfrac{7C^3}{\pi}$ 個．
これらより， $f(x)\neq0$ かつ $f(x+C)=0$ なる $x$ が存在するので矛盾．
従って $f(x)$ は周期関数ではない．

2014-06-20

京大1984年理系問題3

箱庭数学

実数の値によって定まる点PとQがある．
(1) がすべての実数を動くとき，直線PQが通過する範囲を図示せよ．
(2) が区間を動くとき，線分PQが通過する範囲の面積を求めよ．

(1)
直線PQは傾き $\dfrac{t-(-t)}{(t+1)-(t-1)}=t$ であり点Pを通るので $y=tx-t^2$ ．
$f(t)=t^2-xt+y$ とおくと， $f(t)=0$ が実数解を持つことが直線PQが点 $(x:y)$ を通過する条件．
判別式 $D=x^2-4y\geq0$ より $y=\dfrac{x^2}4$ の下側の部分(境界を含む)．（図は省略）
(2)
A $(1,0)$ , B $(2,1)$ ,C $(-1,0)$ , D $(0,-1)$ とおくと，Pは線分AB上，Qは線分CD上にある．
線分AB上の点は直線CDの上側にあるのでPQが通過する範囲は直線CDおよびその上側，つまり $y\geq -x-1$ ．
線分CD上の点は直線AB上かその上側にあるのでPQが通過する範囲は直線ABおよびその上側，つまり $y\geq x-1$ …☆．
面積を求めるべき範囲に点 $(x,y)$ が含まれるには $f(t)=0$ が $0\leq t\leq 1$ で解をもつことが必要．
(i) $0<\dfrac x2<1$ のとき
$f\left(\dfrac x2\right)\leq0$ であり☆より $f(1)\geq0$ だから $0\leq t\leq 1$ で解を持つ．
(ii) $\dfrac x2\leq0, 1\dfrac x2$ のとき
$f(0)f(1)\leq0$ ならば良いが，☆より $f(1)\geq0$ だから $f(1)=0$ または $f(0)\leq0$ ．
以上を合わせて， $x\leq0$ では $-x-1\leq y\leq0$ (△OCDの周および内部)， $x>0$ では $x-1\leq y\leq\dfrac{x^2}4$ ．
従って求める面積は
$\displaystyle\frac12+\int_0^2\left[\frac{x^2}4-(x-1)\right]\mathrm dx=\frac76$ .

2014-06-20

京大1983年理系問題5

箱庭数学

平面上に動点P,Qがある．Qは時刻0のとき点にあり，速さ1で軸上を正の向きに進む．
他方Pは時刻0のとき点にあり，速さ1で軸上を正の向きに進み，
ある時刻で向きを変え，速さをに変更してQに到達するように直進するものとする．
時刻から到達する時刻までの時間が最小になるようなを求めよ．ただしとする．

Pが向きを変えた後に進む方向の単位ベクトルを $(\cos\theta,\sin\theta)$ ，時刻 $t+s$ にPがQに到達するとおく．
$|t-a|=|\sqrt2s\cos\theta|$ , $|t-b|=|s-\sqrt2s\sin\theta|$ であり，両辺の和を取ると
$|t-a|+|t-b|=|\sqrt2s\cos\theta|+|s-\sqrt2s\sin\theta|=s(|\sqrt2\cos\theta|+|1-\sqrt2\sin\theta|)$ ．
ここで，右辺括弧内を $f(\theta)$ とおき，これが最大になる $\theta$ を考える．
$\sin\theta\geq 0$ のとき $f(-\theta)\geq f(\theta)$ であるから $\pi\leq\theta\leq 2\pi$ の範囲を考えればよく，
このとき $f(\theta)=\sqrt2(|\cos\theta|-\sin\theta)+1$ ．
この右辺括弧内が最大となるのは $\theta=\dfrac54\pi,\dfrac74\pi$ のとき．
この条件は $|t-a|=s, |t-b|=2s$ …①と同値．
また， $a\leq t\leq b$ のとき $|t-a|+|t-b|=b-a$ となるが， $t< a, b< t$ のとき $|t-a|+|t-b|>b-a$ なので
$|t-a|+|t-b|$ が最小となるのは $a\leq t\leq b$ のとき．
この条件は $t-a>0, t-b<0$ …②と同値．
①,②が成立するとき， $t-a=s, t-b=-2s$ なので $t=\dfrac{2a+b}3$ ．
このとき $f(\theta)$ が最大となり $|t-a|+|t-b|$ が最小となるから $s$ は最小となる．

2014-06-19

京大1982年理系問題6

箱庭数学

関数について，次の問に答えよ．
(1) のとき，であることを示せ．
(2) が最大および最小となるの値をそれぞれ求めよ．

$f(x)=\displaystyle\int_{-x}^{-x-1}(-t)e^{-|t|}(-\mathrm dt)=-f(-x-1)$ …①
また，「 $t<0$ のとき $te^{-|t|}<0$ ， $t>0$ のとき $te^{-|t|}>0$ 」…②．
(1)
$-1\leq x\leq0$ とする．
②より $f(x)\leq \displaystyle\int_0^{x+1}te^{-|t|}\mathrm dt \leq \int_0^1te^{-|t|}\mathrm dt=f(0)$
また， $-1\leq -x-1\leq0$ でもあるから $f(-x-1)\leq f(0)$ ．
これと①より $f(-1)=-f(0)\leq -f(-x-1)=f(x)$ ．
(2)
$x\geq0$ で $f'(x)=(x+1)e^{-(x+1)}-xe^{-x}=(x+1-ex)e^{-(x+1)}$ であるから， $x=\dfrac1{e-1}$ のとき最大．
(1)の結果より $-1\leq x\leq 0$ のとき $f(x)\leq f(0)< f\left(\dfrac1{e-1}\right)$ ，
②より $x<-1$ のとき $f(x)<0< f\left(\dfrac1{e-1}\right)$ ．
以上より $f(x)$ は $x=\dfrac1{e-1}$ のとき最大．
$0< f\left(\dfrac1{e-1}\right)$ なので，①より $f(x)$ が最小となるのは $-x-1=\dfrac1{e-1}$ ，つまり $x=-\dfrac e{e-1}$ のとき．

2014-06-18

京大1981年文系問題2

箱庭数学

を有理数とし，次の関係をもつを座標にもつ平面上の点を考える;

いま，がともに有理数で，かつは原点でないとする．
このとき，すべてのは有理数であり，点は原点を中心とする定円上にあることを示せ．

$x_{n+1}-py_{n+1}=x_n+py_n$ …① $y_{n+1}+px_{n+1}=y_n-px_n$ …②である．
(①+②× $p$ )÷ $(1+p^2)$ より $x_{n+1}=\dfrac{x_n+py_n+p(y_n-px_n)}{1+p^2}$ であるから，
$x_k,y_k$ が有理数ならば $x_{k+1}$ も有理数．更に②より $y_{k+1}$ も有理数となる．
$x_1,y_1$ が有理数なので，数学的帰納法によりすべての $x_n,y_n$ は有理数．

①と②の両辺を平方して和を取ると $(1+p^2)(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)=(1+p^2)(x_n^2+y_n^2)$ であるから，すべての $x_n^2+y_n^2=OP_n^2$ は等しい．
$P_1$ は原点ではないから，点 $P_n$ は原点を中心とする定円上にある．

2014-06-18

京大1981年理系問題3

箱庭数学

は定数，は一つの自然数とする．
のとき，つねにであるならば，であることを示せ．

$f(x)=x^{\frac m{m+1}}$ とおく．
$x>1$ のとき， $\dfrac{x^m-1}{x^{m+1}-1}\leq k$ であるから，
$\displaystyle k\geq\lim_{x^{m+1}\to 1+0}\frac{x^m-1}{x^{m+1}-1}=f'(1)=\frac m{m+1}$ ．
同様に $x<1$ のとき $k\leq\dfrac m{m+1}$ より示された．

2014-06-18

京大1979年文理共通問題4

箱庭数学

2人の人が1つのサイコロを1回ずつふり，大きい目を出した方を勝ちとすることにした．
ただし，このサイコロは必ずしも正しいものではなく，の目の出る確率はである()．
このとき
(1)引き分けになる確率を求めよ．
(2)であることを示せ．また，ならば，である()ことを示せ．

(1)
引き分けになるのは2人が同じ目を出した場合で，2人がともに $k$ の目をだす確率は $p_k^2$ であるから，
$P=\displaystyle\sum_{k=1}^6p_k^2$ ．
(2)
$\displaystyle\sum_{k=1}^6p_k=1$ なので，
$0\leq\displaystyle\sum_{k=1}^6\left(p_k-\frac16\right)^2=\sum_{k=1}^6p_k^2-2\sum_{k=1}^6\frac{p_k}6+\sum_{k=1}^6\left(\frac16\right)^2=P-\frac16$ ．
従って $P\geq\dfrac16$ で等号成立は $p_k=\dfrac16$ ( $k=1,2,3,4,5,6$ )となる．