は実数とする.3次方程式において, 一根が1で,他の二根はその絶対値がいずれも1であるための必要十分条件を求めよ.
他の二根をそれぞれとおく.
根と係数の関係よりであるから.
(i)のとき
とおくと,であるから
となるので,.
逆にのとき,であり,
の判別式はより虚根2つないし重根をもち,根と係数の関係よりこれらの根の積は1なのでいずれの根の絶対値も1.
(ii)のとき
が虚数のときよりとなり不適.
よってであるが,このときより.
逆にこのとき根はとなるのでいずれも絶対値は1.
(i)(ii)をあわせて, ただし.