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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1973年文理共通問題2

p,q,rは実数とする.3次方程式x^3+px^2+qx+r=0において,
一根が1で,他の二根はその絶対値がいずれも1であるための必要十分条件を求めよ.

他の二根をそれぞれa,bとおく.
根と係数の関係よりab=-rであるからab=\pm1
(i)ab=1のとき
a+b=tとおくと,|t|\leq|a|+|b|=2であるから
x^3+px^2+qx+r=(x-1)(x^2-tx+1)=x^3-(t+1)x^2+(t+1)x-1となるので,r=-1, p=-q, -3\leq p\leq1.
逆にr=-1, p=-q, -3< p<1のとき,x^3+px^2+qx+r=(x-1){x^2+(p+1)x+1}であり,
x^2+(p+1)x+1=0の判別式は(p+1)^2-4\leq0より虚根2つないし重根をもち,根と係数の関係よりこれらの根の積は1なのでいずれの根の絶対値も1.
(ii)ab=-1のとき
a虚数のときb=\bar aよりab=1となり不適.
よって(a, b)=(1, -1),(-1,1)であるが,このときx^3+px^2+qx+r=(x-1)^2(x+1)=x^3-x^2-x+1より(p,q,r)=(-1,-1,1).
逆にこのとき根は1,1,-1となるのでいずれも絶対値は1.

(i)(ii)をあわせて(p,q,r)=(p,-p,-1), (-1,-1,1), ただし-3\leq p\leq 1.