京大1973年文理共通問題2

は実数とする．3次方程式において，
一根が1で，他の二根はその絶対値がいずれも1であるための必要十分条件を求めよ．

他の二根をそれぞれ $a,b$ とおく．
根と係数の関係より $ab=-r$ であるから $ab=\pm1$ ．
(i) $ab=1$ のとき
$a+b=t$ とおくと， $|t|\leq|a|+|b|=2$ であるから
$x^3+px^2+qx+r=(x-1)(x^2-tx+1)=x^3-(t+1)x^2+(t+1)x-1$ となるので， $r=-1, p=-q, -3\leq p\leq1$ .
逆に $r=-1, p=-q, -3< p<1$ のとき， $x^3+px^2+qx+r=(x-1){x^2+(p+1)x+1}$ であり，
$x^2+(p+1)x+1=0$ の判別式は $(p+1)^2-4\leq0$ より虚根2つないし重根をもち，根と係数の関係よりこれらの根の積は1なのでいずれの根の絶対値も1．
(ii) $ab=-1$ のとき
$a$ が虚数のとき $b=\bar a$ より $ab=1$ となり不適．
よって $(a, b)=(1, -1),(-1,1)$ であるが，このとき $x^3+px^2+qx+r=(x-1)^2(x+1)=x^3-x^2-x+1$ より $(p,q,r)=(-1,-1,1)$ .
逆にこのとき根は $1,1,-1$ となるのでいずれも絶対値は1．

(i)(ii)をあわせて $(p,q,r)=(p,-p,-1), (-1,-1,1)$ , ただし $-3\leq p\leq 1$ .

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京大1973年文理共通問題2