京大1995年後期理系問題3

は実数でとする．

とおく．をみたすすべてのに対してが成り立つとき，
をみたすすべてのに対してが成り立つことを示せ．

$|q(\pm1)|=|p(\pm1)|\leq1$ であるから， $-1\leq x\leq1$ の範囲で $q(x)$ が極値を持つときにその極値の絶対値が2以下となることを示せば良い．
$q(x)=c\left(x+\dfrac b{2c}\right)^2+a-\dfrac{b^2}{4c}$ であるから， $x=-\dfrac b{2c}$ のとき極値 $a-\dfrac{b^2}{4c}$ をとる．
$-1\leq x\leq1$ の範囲で $q(x)$ が極値を持つとき $c\neq0,\ -1\leq \dfrac b{2c}\leq1$ であり，
このとき， $a-b\leq a-\dfrac{b^2}{4c}\leq a+b$ ．
$|a\pm b|\leq|a\pm b+c|+|c|=|p(\pm1)|+|p(0)|\leq2$ より $\left|a-\dfrac{b^2}{4c}\right|\leq 2$ なので示された．

shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

京大1995年後期理系問題3