読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1995年後期理系問題3

a,\ b,\ cは実数でa\geq0,\ b\geq0とする.
p(x)=ax^2+bx+c,\ q(x)=cx^2+bx+a
とおく.-1\leq x\leq1をみたすすべてのxに対して|p(x)|\leq1が成り立つとき,
-1\leq x\leq1をみたすすべてのxに対して|q(x)|\leq2が成り立つことを示せ.

|q(\pm1)|=|p(\pm1)|\leq1であるから,-1\leq x\leq1の範囲でq(x)極値を持つときにその極値の絶対値が2以下となることを示せば良い.
q(x)=c\left(x+\dfrac b{2c}\right)^2+a-\dfrac{b^2}{4c}であるから,x=-\dfrac b{2c}のとき極値a-\dfrac{b^2}{4c}をとる.
-1\leq x\leq1の範囲でq(x)極値を持つときc\neq0,\ -1\leq \dfrac b{2c}\leq1であり,
このとき,a-b\leq a-\dfrac{b^2}{4c}\leq a+b
|a\pm b|\leq|a\pm b+c|+|c|=|p(\pm1)|+|p(0)|\leq2より\left|a-\dfrac{b^2}{4c}\right|\leq 2なので示された.