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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

今月の問題、今月のうちに

shaitan.hatenablog.com

十分性の証明

↓背景色と同じにすればいいか

正六角形の一辺の長さが3の倍数のとき、対角線の長さは6の倍数であり、
松竹梅のそれぞれと対角線との共有部分の辺の本数はいずれも同じであり偶数本となる。
よってハニカム格子上で偶数本の辺からなる連結な図形は折れ線により構成可能であることを示せば十分。
辺の本数による帰納法で示す。2本の場合自明。k本以下の場合に可能であると仮定し、k+2本の辺から構成された連結な図形を考える。
(i)ちょうど2本の辺に共有される頂点が存在する場合
この頂点Pを含む折れ線を取り除いた図形Xを考える。
Xが連結な場合、いずれも偶数本の辺からなる2つの連結な部分からなる場合はいずれも帰納法の仮定からもとの図形も構成可能。
Xがいずれも奇数本の辺からなる2つの連結な部分からなる場合、
もとの図形をPで分割するとそれぞれが偶数本の辺からなる連結な図形となるので帰納法の仮定からもとの図形も構成可能。
(ii)それ以外
分岐が存在し、その分岐点をOとする。Oに隣接する3頂点をA,B,Cとし、Aからは辺AO以外の辺が出ているとしてよい。
辺OAが辺OB,辺OCとつながっていないとした場合にも図形が連結であれば(i)に帰着される。
図形がいずれも偶数本の辺からなる2つの連結な部分に分かれる場合は帰納法の仮定からもとの図形も構成可能。
図形がいずれも奇数本の辺からなる2つの連結な部分に分かれる場合は点Oの代わりに点Aで分割すればよい。

↑おわり。
大したこと言ってないくせに、ちゃんと書こうとするとどう書いていいかよく分からない(用語がおかしい部分があると思う)上に面倒くさい(多少ごまかした)。
場合分けをどうすれば簡単になるかをずっと考えてたんだけどもうこれで妥協した。
高級な概念を使うと一瞬で解けそうな気もするがそういうのは数学ができる人に任せる。