shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

ろぐたんのblogを見つけた

wakaranailog.hatenablog.com
今更感もあるが別解を載せておく。

P\left(\overline{X}=\dfrac{k}n\right)=\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}である。
従って、
\begin{align}E[T]&=\displaystyle\sum_{k=0}^nc\cdot\dfrac{k}n\left(1-\dfrac{k}n\right)\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=\dfrac{c}{n^2}\sum_{k=0}^nk(n-k)\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=\dfrac{c}{n^2}\cdot n(n-1)p(1-p)\sum_{k=1}^{n-1}\binom{n-2}{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k-1}\\ &=\dfrac{c(n-1)}n\cdot p(1-p)\end{align}
である。
これより、Tが母分散の不偏推定量であるとき、すなわちE[T]=p(1-p)のとき、c=\dfrac{n}{n-1}となる。


k^2(n-k)^2=k(n-k)\{(k-1)(n-k-1)+(k-1)+(n-k-1)+1\}であることに注意して上と同様に計算すると、
\begin{align}V[T]&=E[T^2]-\left(E[T]\right)^2\\ &=\dfrac{p(1-p)}{n(n-1)}[\{(n-2)(n-3)-n(n-1)\}p(1-p)+(n-2)p+(n-2)(1-p)+1]\\ &=\dfrac{p(1-p)}{n(n-1)}[\{-4(n-1)+2\}p(1-p)+(n-1)]\\ &=\dfrac{p(1-p)}n\left\{1-4p(1-p)+\dfrac{2p(1-p)}{n-1}\right\}\\ &=\dfrac{p(1-p)}n\left\{(2p-1)^2+\dfrac{2p(1-p)}{n-1}\right\}\end{align}
となる。