整式の割り算 - shaitan's blog

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この「ひたすら計算するだけ」を考える。問題の形にすると以下の通り。

$\dfrac{x^{14}+x^7+1}{x^2+x+1}$ を計算せよ。

①
$x^{14}=(x^2+x+1)(x-1)(x^3+1)(x^6+1)x^2+x^2$ 、 $x^7=(x^2+x+1)(x-1)(x^3+1)x+x$ であるから、
(与式)
$=(x-1)(x^3+1)x(x^7+x+1)+1$
$=(x^4+x)(x^8-x^7+x^2-1)+1$
$=x^{12}-x^{11}+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1$ 。

②
$(x-1)(x^{14}+x^7+1)$
$=x^{15}-x^{14}+x^8-x^7+x-1$
$=(x^{15}-1)-(x^8+x)(x^6-1)$
$=(x^3-1)[(x^{12}+x^9+x^6+x^3+1)-(x^8+x)(x^3+1)]$
$=(x^3-1)(x^{14}-x^{13}+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)$ 。
(与式) $=\dfrac{(x-1)(x^{14}+x^7+1)}{x^3-1}$ $=x^{12}-x^{11}+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1$ 。