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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1977年文系問題6

箱庭数学
AB>ACであるような△ABCにおいて,辺BCの三等分点M, Nをとる(BM=MN=NC).このとき,
(1) AMANとの大小関係をしらべよ.
(2) ∠BAM∠CANとの大小関係をしらべよ.

(1)
\dfrac13\vec{AB}=\vec{b},\dfrac13\vec{AC}=\vec{c}とおく.
AM^2=|2\vec b+\vec c|^2=4|\vec b|^2+|\vec c|^2+4\vec b\cdot\vec c >|\vec b|^2+4|\vec c|^2+4\vec b\cdot\vec c =|\vec b+2\vec c|^2=AN^2より
AM>AN
(2)
BM,CNを底辺と考えると△BAMと△CANの面積は等しいので,\dfrac12AB\cdot AM\sin∠BAM=\dfrac12AC\cdot AN\sin∠CAN
AB>AC, AM>ANより\sin∠BAM<\sin∠CAN
AMNを考えると,AM>ANより∠AMNは鈍角ではない.
これより ∠BAM=∠AMN-∠ABMも鈍角ではない.
従って∠BAM<∠CAN