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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

演算子の必然性

自作数学問題bot 箱庭数学


nとn+1の間に入る演算子\Box_nとする。

以下の三点に注意する。
k\Box_k\cdots\Box_{m-1}m\pm(m+1)\Box_{m+1}\cdots\Box_{n-1}nで表される数はk\Box_k\cdots\Box_{m-1}m(m+1)\Box_{m+1}\cdots\Box_{n-1}nと表される数の和か差で表わせる。
(複号が正なら自明。負の場合は\Box_i (i>m)が+か-の場合にそれぞれ-か+にすればよい。)
\Box_i (k\leq i< m)が全て×か÷のとき、k\Box_k\cdots\Box_{m-1}m\frac{m!}{(k-1)!l^2}と表せる(lは\Box_iが÷であるようなi+1の総積)。
k\Box_k\cdots\Box_{m-1}m (k>1)の絶対値最大となる値はk(k+1)\cdots mであり、1\Box_1\cdots\Box_{m-1}mの絶対値最大となる値はm!+1である。

\Box_6が+か-の場合、①と③より、|7\Box_78\Box_89\Box_910-2015|=|1\Box_1\cdots\Box_56|\leq 6!+1=721である。
ここで\Box_i (i>6)のいずれかが+か-の場合、①と③より不適であり、全て×か÷のとき②より不適。
従って\Box_6は×か÷である。
更に、\Box_6が÷の場合、1\Box_1\cdots\Box_910は整数にならない(①と②より)ので\Box_6は×である。
これより、②におけるlは7以上の素因数を持たない(☆)。

\Box_7が+か-の場合、\Box_kが+か-であり、\Box_m (k< m< 7)が全て×か÷であるようなkを考える(\Box_m (m< 7)が全て×か÷である場合にはk=0とする)。
①と③より、|(k+1)\Box_{k+1}\cdots\Box_67-2015|\leq (k!+1)+(8\cdot9\cdot10)\leq 5!+1+720=841
②より2015-841\leq \frac{7!}{k!l^2}\leq 2015+841、従って1<\frac{7!}{2015+841}\leq k!l^2\leq \frac{7!}{2015-841}=\frac{5040}{1174}<5であるから、k!l^2=2,3,4つまり(k!,l)=(2,1),(1,2)である。
(k!,l)=(2,1)のとき、1\Box_12\Box_23\times\cdots\times7\Box_78\Box_89\Box_910=2015より|8\Box_89\Box_910|=505+1\Box_12であり|1\Box_12|\leq3よりこれは成立しない。
(k!,l)=(1,2)のとき、1\div2\times\cdots\times7\Box_78\Box_89\Box_910=2015より|8\Box_89\Box_910|=755でありこれも成立しない。
従って\Box_7は×か÷である。

\Box_8が+か-の場合、\Box_kが+か-であり、\Box_m (k< m< 8)が全て×か÷であるようなkを考える(\Box_m (m< 8)が全て×か÷である場合にはk=0とする)。
①と③より、|(k+1)\Box_{k+1}\cdots\Box_78-2015|\leq (k!+1)+(9\cdot10)\leq 5!+1+90=201
②より2015-201\leq \frac{8!}{k!l^2}\leq 2015+201従って18<\frac{8!}{2015+201}\leq k!l^2\leq \frac{8!}{2015-201}<23であるが、これを満たす(k,l)は存在しない。
従って\Box_8は×か÷である。

\Box_9が+か-の場合、\Box_kが+か-であり、\Box_m (k< m< 9)が全て×か÷であるようなkを考える(\Box_m (m< 9)が全て×か÷である場合にはk=0とする)。
①と③より、|(k+1)\Box_{k+1}\cdots\Box_89-2015|\leq (k!+1)+10\leq 5!+1+10=131
②より2015-131\leq \frac{9!}{k!l^2}\leq 2015+131従って169<\frac{9!}{2015+131}\leq k!l^2\leq \frac{9!}{2015-131}<193であるが、これを満たす(k,l)は存在しない。
従って\Box_9は×か÷である。

\Box_kが+か-であり、\Box_m (k< m)が全て×か÷であるようなkを考える(\Box_mが全て×か÷である場合にはk=0とする)。
①と③より、|(k+1)\Box_{k+1}\cdots\Box_910-2015|\leq k!+1\leq 5!+1=121
②より2015-121\leq \frac{10!}{k!l^2}\leq 2015+121従って1698<\frac{10!}{2015+121}\leq k!l^2\leq \frac{10!}{2015-121}<1916である。
k=0,1のとき、1698< l^2< 1916であるが、☆よりこれを満たすlは存在しない。
k=2のとき、849< l^2< 958より29< l<31であるからl=30となる。
このとき、1\Box_12+3\times4\div5\div6\times7\times8\times9\times10=2015であるから\Box_1は-である。
k=3のとき、283< l^2< 320であるが、☆よりこれを満たすlは存在しない。
k=4のとき、70< l^2<80であるが、これを満たすlは存在しない。
k=5のとき、14< l^2<16であるが、これを満たすlは存在しない。

以上より、1-2+3\times4\div5\div6\times7\times8\times9\times10=2015が求める答えである。


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普段はなるべく大胆に不等式評価して計算を簡単にしようと思ってるのだが、入力するのが大変だったので今回はパス。
例えば桁数の多い割り算であっても、計算用紙にごちゃごちゃ計算して(そもそも禁止されてるわけじゃないんだから計算機を使ってもよい)イコールで結んで書いとけば解答例としては問題ないんだよなあ。単に好みじゃないだけで。
符号が間違ってるところがあるが、これを修正するなら全体的に書き直したいので放置。