京大1990年前期理系問題2

三角形ABCにおいて，∠B=60°,Bの対辺の長さは整数，他の2辺の長さはいずれも素数である．
このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ．

∠A=60°のとき三角形ABCは正三角形である．
∠A<60°とすると60°<120°-∠A=∠C<120°であり，正弦定理よりとなる．
三角不等式よりなのでは素数と互いに素．
余弦定理よりつまりであるが，左辺はで割り切れ右辺はそうでないから矛盾．
∠A>60°のとき∠C<60°であり同様に矛盾．