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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1990年前期理系問題2

三角形ABCにおいて,∠B=60°,Bの対辺の長さbは整数,他の2辺の長さa,cはいずれも素数である.
このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ.

∠A=60°のとき三角形ABCは正三角形である.
∠A<60°とすると60°<120°-∠A=∠C<120°であり,正弦定理よりa< b< cとなる.
三角不等式b-a< c< b+aより0< b-a< c< b+a<2cなのでb\pm a素数cと互いに素.
余弦定理よりb^2=a^2+c^2-acつまりc(c-a)=(b+a)(b-a)であるが,左辺はcで割り切れ右辺はそうでないから矛盾.
∠A>60°のとき∠C<60°であり同様に矛盾.