2014-06-21 京大1990年前期理系問題2 箱庭数学 三角形ABCにおいて,∠B=60°,Bの対辺の長さは整数,他の2辺の長さはいずれも素数である. このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ. ∠A=60°のとき三角形ABCは正三角形である. ∠A<60°とすると60°<120°-∠A=∠C<120°であり,正弦定理よりとなる. 三角不等式よりなのでは素数と互いに素. 余弦定理よりつまりであるが,左辺はで割り切れ右辺はそうでないから矛盾. ∠A>60°のとき∠C<60°であり同様に矛盾.