2024-01-21

お金って何？

雑感

以前、メルカリで「金銭と同等に扱われるもの」について書いた。
shaitan.hatenablog.com
このときは貨幣についてあまり掘り下げずに「流動性」で済ませてしまったが、今回はこれをもう少し考えてみたい。

先日、貨幣博物館を見学したが、導入展示の説明には以下のように書かれていた。

「お金」にはいくつかの特徴があります。
・さまざまなものと交換できる
・さまざまな人の間で誰でも使うことができる
・使いたい時まで貯めておくことができる

これはフォンヘーゲン（2014）*1の貨幣観を参考にしたものであり、歴史的に貨幣として使われてきたものの持つ性質――交換可能性、無名性、貯蔵可能性――に着目した説明である。*2。貨幣の起源や本質についていくつかの説が存在するが、この説明はそれらの説のいずれにも依存せずに済むという利点がある。

交換可能性

村社会における「結（ゆい）」は互助的な共同活動である。山口県最西端の島、蓋井島。下関市吉母の北西約6キロメートル、響灘に浮かぶ面積2平方キロ強の小さな島である。ここでは結の加勢を受けた家では感謝の印としてサイダーを贈るしきたりになっている。これは一見、サイダー（外来の工業製品であり、贅沢品である）が貨幣の機能を持っているように見える。しかし、サイダーは労働の対価ではなく、その贈与によって労働の負債をなくすことはできない。結による労働の負担は必ず労働力によって償わねばならないのである。*3 このことから分かるように、「交換できる」とは交換した後に貸し借りがなくなることが含意されている。

無名性

〈ヤップ島の石貨や貝貨は、カヌー、ブタ、ヤシ酒の購買の支払い（プルワン）、労務の謝礼（タリン）など、商品交換における貨幣に類似して、サービス、ないし品物の支払い手段としても使用されている。〉*4 しかし、これらは「貨幣」とは異なった働きをもつ。石貨はそれぞれが誰が何と交換したかの歴史をもっており、名前さえついているものがある。つまり、貨幣とは異なり、代替が不可能なものである。*5 このような性質から、「石貨」と呼ばれているものは正確には〈円盤状に加工した石製の貴重品あるいは富〉と表現すべきとされる*6。

貯蔵可能性

1985年から96年の3月までにザイール（現コンゴ民主共和国）の通貨「ザイール」は対ドルレートで実に12億分の一に下落している。ハイパーインフレは既存の貨幣の貯蔵可能性を著しく損なう。そのため通貨は受け取りを拒否され、交換手段としても使用されなくなる。その代わりに都市では米ドル札が取引に使われ、田舎では物々交換が行われた。*7

*1:Von Hagen, Jürgen, “Microfoundations of the use of money,” Von Hagen, Jürgen and Welker. Michael eds., Money as God? The Monetization of the Market and its Impact on Religion, Politics, Law and Ethics, Cambridge University Press, 2014, pp.25-6. [未読]

*2:鎮目雅人「貨幣に関する歴史実証の視点　―貨幣博物館リニューアルによせて―」p. 4. 日本銀行金融研究所貨幣博物館『日本銀行金融研究所貨幣博物館　常設展示リニューアルの記録』2017 所収調査・研究 - 貨幣博物館 > https://www.imes.boj.or.jp/cm/research/kinken/mod/cm_201703naritachi.pdf

*3:小馬徹「人間とカネ」小馬徹[編]『カネと人生』雄山閣 2002, pp. 127-130.

*4:牛島厳「携えるカネ、据え置くカネ」 ibid., p. 79.

*5:Ibid. pp. 85-94.

*6:Ibid., p. 78.

*7:澤田昌人「パニックの40年」ibid., pp. 179-204.

2024-01-10

名古屋大学2007年前期文系問題1

箱庭数学

2007 名古屋大学前期MathJax

BCの中点をMとおく。
$\dfrac{\mathrm{BA}}{\mathrm{AA'}}\cdot\dfrac{\mathrm{A'A''}}{\mathrm{A''B}}\cdot\dfrac{\mathrm{B'M}}{\mathrm{MB}}=\dfrac32\cdot\dfrac21\cdot\dfrac13=1$
であるから、△A'BB'についてメネラウスの定理の逆よりA, A'', Mは共線である。
これより、AA''は△ABCの重心を通る。BB'', CC''についても同様であるから直線AA'', BB'', CC''は△ABCの重心で交わるが、これが示すべきことであった。

BC, CAを1:2に内分する点をそれぞれP, Qとおき、A'B'とPQの交点をRとする。△A'QR∽△B'RPであり、相似比は2:1なので、A'R:RB'=2:1、つまりRはA''に等しい。
△ABCの重心GはA'Qの中点なので、PB'の中点をMとすると、G, R, Mは共線である。
ここで、MはBCの中点でもあるので、G, M, Aは共線である。これらより、A, A'', Gが共線であることがいえる。BB'', CC''についても同様なので直線AA'', BB'', CC''は△ABCの重心で交わるが、これが示すべきことであった。

この問題でABをk:lに内分した点をA', ..., A'B'をk:k-lに内分した点をA'',... としても同様のことが成り立ちます。

2023-12-29

名古屋大2007年前期文系問題3(b)

箱庭数学

2007 名古屋大学前期MathJax

操作1回ごとに玉の数が増えるので、N回引くときの全ての引き方の場合の数は(N+1)!通り。
操作をN回繰り返して赤玉が袋の中にm個あるためには、赤玉をm-1回引く必要があり、赤玉を1回引くごとに赤玉の数が増えるので赤玉の引き方は(m-1)!通り。同様に白玉の引き方は(N-m+1)!通り。
したがって、 $p_N(m)=\dfrac{(m-1)!(N-m+1)!}{(N+1)!}$ 　であり（(2)の答）、
特に、 $p_3(m)=\dfrac{(m-1)!(4-m)!}{24}$ となる（(1)の答）。

理系も「白玉」を「赤でない玉」にすれば数字が1ずれるが同様に解ける。

2023-12-27

名古屋大2007年後期理学部問題3

箱庭数学

2007 名古屋大学後期理学部MathJax
[解1]
どの2点を通る直線とも垂直にならないように平面上にx軸を取る。各点のx座標の小さい方から順に2点ずつ組にすれば線分は交わらない。

[解2]
n本の線分の長さの総和を考える。組の作り方は有限なので、長さの総和には最小値が存在する。この最小値を与える組では線分は交わらない。
以下、それを示す。最小値を与える組を考え、そのうちの任意の二本の線分（AB、CDとおく）を考える。
四点A,B,C,Dが一直線上にある場合、ABとCDが共有点を持たないような組であるときに線分の長さの和が最小になることが明らかである。
四点A,B,C,Dが一直線上にない場合、ABとCDが共有点Pを持つと仮定すると、三点ADPとCBPのいずれかは三角形を作るので、三角不等式よりAB+CD=AP+PB+CP+PD>AD+CBが成り立つが、これは最小値を与える組であることに反する。
以上より示された。

問題文を「平面上の『相異なる』2n個の点」、「交わる」は「共有点を持つ」と解釈した。仮に出題者の意図が「点は同一の可能性もあり、『交わる』とは端点以外で共有点を持つことをいう」であれば完全に読み違えたことになってしまうが。

[2024.2.10追記]
この手の問題は普通はどの3点も同一直線状にないものだが、受験生に場合分けをさせたかったのだろうか。以下の類題はいずれもその条件が付いている。
2023年の浅野中学校入試問題として解2の方針の誘導付きのものが使われている*1。
点が2種類に分けられており、異種の点同士でなければ組にできないという条件を付けた問題もある。この問題は1979年に開催された40th William Lowell Putnam Mathematical Competition の Probrem A4で出題されており*2、また、2016年に企業が採用活動の一環としてこの問題を出題している*3。この条件が付くと解1の方針では解けなくなるが、解2の方針ならほぼ同様に解ける。点の数の帰納法を使ってもよい*4のだが、さすがにそれと比べると解2の方がエレガントである。

*1:2024年02月浅野中学校【算数】 | 日能研シカクいアタマをマルくする。

*2:Putnam 79/A4 solution

*3:https://web.archive.org/web/20160720215459/https://recruit.elysium.co.jp/campaign/2017/

*4:https://twitter.com/faogr/status/733170598101159937 碁石の問題とは東大2001年前期文系問題1 - shaitan's blogのこと

2023-12-26

名古屋大1962年前期理系問題4

箱庭数学

$g(x)=f(2x+1), h(x)=\dfrac{g(x)+g(-x)}2$ とおく。 $h(x)$ は三次以下の偶関数なので $ax^2+b$ とおくと、
$\displaystyle\int_0^1f(x)\mathrm dx=\dfrac12\int_{-1}^1g(x)\mathrm dx=\int_0^1h(x)\mathrm dx$
$\displaystyle=\dfrac{a}3+b=h\left(\dfrac1{\sqrt3}\right)=\dfrac12\left\{g\left(\dfrac1{\sqrt3}\right)+g\left(-\dfrac1{\sqrt3}\right)\right\}$
$=\dfrac12\left\{f\left(1+\dfrac2{\sqrt3}\right)+f\left(1-\dfrac2{\sqrt3}\right)\right\}$
であるから示された。

存在を示せばいいので求める必要はないが、計算して等号でつないでしまうのが手っ取り早い。試験場だと、線形性から $f(x)=x^n$ の場合だけ考えれば十分として $\dfrac{p^n+q^n}2=\dfrac1{n+1}$ （ $n=0, 1, 2, 3$ ）を解くのが素直か。
問題の元ネタはGauss–Legendre公式。
参考：
manabitimes.jp

[元ネタに忠実な別解]
$g(x)=\dfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left\{x^2(x-1)^2\right\}$ とおく。
$g(x)$ は二次式なので $f(x)=h(x)g(x)+ax+b$ とおける。ただし、 $h(x)$ は一次の多項式、 $a,b$ は定数である。
ここで、 $\displaystyle\int_0^1h(x)g(x)\mathrm dx = \biggl[h(x)\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left\{x^2(x-1)^2\right\}\biggr]_0^1-h'(x)\biggl[x^2(x-1)^2\biggr]_0^1=0$ が成り立つので $\displaystyle\int_0^1f(x)\mathrm dx =\int_0^1(ax+b)\mathrm dx=\dfrac a2+b$ となる。
さて、 $x^2(x-1)^2$ は $x=0, 1$ で極小となり、その間で極大となるので中間値の定理より $g(x)$ は実根を二つ持つ。それらをそれぞれ $p, q$ とおくと、 $g(x)$ は $x=\dfrac12$ に関して対称なので $p+q=1$ となる。また、 $f(p)=h(p)g(p)+ap+b=ap+b$ 、同様に $f(q)=aq+b$ 、これらより $\dfrac12\left\{f(p)+f(q)\right\}=\dfrac a2+b$ となり、与えられた関係式を満たす。

$y=x^2(x-1)^2$ のグラフが変曲点を二つ持つということなので明らかだが、説明するとなると面倒である。上のが説明になってるかどうかもよく分からん。変なことせずに微分の計算した方がいいのだが、 $p, q$ の値を求めないで解こうとするとこんな感じか。

1978年前期文理共通問題1も同様の問題である（積分区間が[-1, 1]となり、被積分関数が5次式になっている。証明ではなく係数を求める問題）。

2023-12-24

名古屋大1970年前期文理共通問題2

箱庭数学

2023-12-18

コンマとは小数点のことである

雑感 twitter

1秒未満の時間の長さのことをコンマ2秒とかって言うけど、日本では小数点はコンマではないのにそう呼ぶのは面白いな
— κねこせん (@necocen) 2023年12月16日

算用数字で小数を表記するとき、小数点には大きく二つの流儀がある。英米式ではピリオド*1、仏独式ではコンマを使う。現在の日本では書くときは英米式に"."であるが、読むときは（「てん」と読まないなら）仏独式に「コンマ」であり、表記と呼称が一致しない。明鏡国語辞典によれば、これは江戸末期、蘭学者が仏独式を採用しているオランダの習慣に倣って小数点に","を使ったことからとのことである*2。
句読点としての"," は『蘭学階梯』(1788)にも「コムマ」として載っている*3。小数点としての","は『洋算用法初編』(1857)に出てくる*4。

〈此(この) ，ハ文章(ぶんしやう)の讀(よみきり)にて「コンマ」と名(なづ)くる者(もの)なり筭術家(さんじゆつか)にて之(これ)を名(なづ)けて「デシマール、ピュント」と云ふ[割注]十分標(じふぶんへう)と譯(やく)す〉とある。『洋算用法初編』https://t.co/UfAmEe2ULO
— しゃいたん (@faogr) 2023年12月16日

ただし、整数部の三桁ごとの桁区切りにもこの「デシマールピュント」を使うとあり*5、現在の仏独式と一致しているわけではない。この記号","には「コンマ」とルビが入っており、読む必要がある場合には「コンマ」とも読まれたのだろう。しかし、小数点を含む数字を「零コンマ云々」と読んでいたかどうかは分からない。

，使ってても、区切り部分の読み方っぽいものとしては「個」だったりする（しかもその下は命数使ったり、分数だったりする）ので、この史料だけでは「コンマ」読みが発生してたとまでは言い切れない気がするな。
— しゃいたん (@faogr) 2023年12月17日

数字を読むときに「コンマ」を使う読み方は『西洋算法分数術』(1971)には載っている*6。

『西洋算法分数術』(1871)だと小数点は","で〈答曰零小数点㠯(以)下五之を零コンマ五と云〉(https://t.co/T6tuXQVdid)とあるが、そこ以外に出てこない。0,087532が〈一以下零八七五三二〉（コマ50）、36,74が〈三十六と小数七四〉（コマ52）、843,8927が〈八百四十三と万分の八九二七〉（コマ48）等。
— しゃいたん (@faogr) 2023年12月17日

古くに英米式を採用している著作としては『童蒙必携洋算訳語略解』(1972)がある。ただ、「小数符」ではピリオドを使うように書かれており、「同加法」「同減法」「同乗法」でもピリオドが使用されているものの、「小数除法」、「循環小数」、「菱形」の項に載っている除法の商はいずれも小数点にコンマを使用しており統一されていない。*7 また、『數學ニ用ヰル辭ノ英和對譯字書』(1889)では英和であるにも関わらず、Decimal Signの訳語は仏独式の「コムマ」となっている*8。残念なことに、この字書では小数点の記号としてどちらを想定していたかが分からない。『数学訳語集』(1903)では表記は英米式、呼称が仏独式という現在同様の現象がみられる。*9

『数学訳語集』(1903)[https://t.co/ChhjQqaaF0]だと〈[.]小数點,「コンマ」〉と書かれており、ピリオドなのにコンマと呼んでいるというのはこの頃からなんだな。
— しゃいたん (@faogr) 2023年12月16日

繰り返しになるが、数字を読むときにどう呼んでいたかどうかはまた別問題で、例えば『算術 (尋常師範学科講義録)』の例題では「3・5」を「三箇五分」と読ませている。*10 なお、この本では小数点はイギリス流に位置が高くなっている。

刊年不明ながら『算術 (尋常師範学科講義録)』https://t.co/qdi7j2J1LR には〈點ハ乘號ニモ用フルヿアレバ混數ニ於ケル小數點ハ乘號ニ紛レ易シ、故ニ小數點ハ高クシ、乘號ノ點ハ低クス〉とあり現在と逆なのが面白い。「小数」は1より小さい数のみを指してるようで、1より大きいと「混数」みたい。
— しゃいたん (@faogr) 2023年12月16日

『商業數學 (早稻田商業講義 ; 第6回)』(1913年製本)では、上と同様に小数点はピリオドを高い位置に打っているが、0・8を「零ポイント八」「奇零八」*11あるいは丁寧に「零小数点八」のように読むと書いてあり、「零コンマの八」のように言うのは改めるべしと厳しい*12。なお、『同第9回』(1914年製本)には、独逸流なら小数点ではなく小数コンマなので0,8は「零コンマの八」である、という記述が追加されている*13。

ここまで手近な史料を色々とあさってみたのだが、これらだけでは断片的な情報に過ぎず、それぞれの書物の社会的な意味も考慮しないとストーリーを構築できない。素人考えでは師範学校の講義録が一番影響力が大きそうな気がするのだが、だとすると「コンマ」読みがここまで広まった理由が説明できず困ってしまう。結局のところよく分からないという、いつもの結論に落ち着いてしまうが、まあこれで良いことにする。

コンマなんて…コンマかいことカンマいはせん、という人もいるんですな……
— yas/やすちゃん🐇6🌼 (@yaschan__) 2023年12月17日

*1:〈イギリスではピリオドよりも位置が上の「中黒」に近い点を用いることがある〉『新明解国語辞典』第八版三省堂 2020「小数点」

*2:『明鏡国語辞典』初版および第二版大修館書店（電子辞書版）「コンマ」。
なお、他の国語辞典もいくつか比較してみた。広辞苑第六版[電子辞書版]ではオランダ語では小数点に","を使うからとしており、新明解国語辞典第七版および第八版では、明治期に小数点として","を用いるフランスの方式が入ったことによるとする。また、精選日国、大辞林4、デジタル大辞泉2、岩国8、三国7,8、三現新6では特に理由についての言及はなかった。新明解は明治期とする点がやや異なるが、そのあたりの時代にオランダで使われている仏独式の表記法が入ってきたものと考えてよさそうである。

*3:大槻磐水『蘭学階梯』巻下 1788, p. 22.
早稲田大学図書館古典籍総合データベース > 蘭学階梯. 巻上,下 / 大槻茂質撰 > 23

*4:柳川春三『洋算用法初編』 1857.
早稲田大学図書館古典籍総合データベース > 洋算用法. 初編 / 柳河春三述 > 10, 11

*5:Ibid. > 12
ちょうど4桁（千以上一万未満）の場合は千位と百位の間にコンマを入れないという規則がある。また、当然だが小数部は桁が多くなってもコンマを入れない。

*6:西洋算法分数術 - 国立国会図書館デジタルコレクション

*7:童蒙必携洋算訳語略解 - 国立国会図書館デジタルコレクション

*8:数学用語英和対訳字書 = Vocabulary of mathematical terms in English and Japanese - 国立国会図書館デジタルコレクション

*9:数学訳語集 - 国立国会図書館デジタルコレクション

*10:算術 - 国立国会図書館デジタルコレクション
刊年不明だが、尋常師範学校は師範学校令（師範学校令（明治十九年四月十日勅令第十三号）：文部科学省）と師範教育令（師範教育令（明治三十年十月九日勅令第三百四十六号）：文部科学省）の間の期間しか存在しないため、1886-1897頃のものと思われる。

*11:「奇零」とは「単位以下の数」の意（奇零・畸零(きれい)とは？意味や使い方 - コトバンク）「奇」は「畸」に通じ、「はんぱな数」の意。（藤堂ほか[編]『学研新漢和大辞典』(2005)「奇」）

*12:商業數學 - 国立国会図書館デジタルコレクション
製本年は本扉に押印されている。また、コマ番号150に大正元年の為替相場表が載っているため、1912年以降に印刷されたことは疑いない。

*13:商業數學 - 国立国会図書館デジタルコレクション