山梨大学2022年後期問題3

$n$ が奇素数のとき $p_n=\dfrac1n$ であることを示す。
以下、 $\mod n$ で考える。
$x^2+y^2-z^2$ が $n$ の倍数となる $\Leftrightarrow (x-z)(x+z)\equiv -y^2$ …(*)。
ここで、ある $a, b$ について $x- z\equiv a, x+z\equiv b\Leftrightarrow x\equiv(a+b)2^{-1}, z\equiv(a-b)2^{-1}$ であるから、 $x\pm z$ を $n$ で割った余りの分布は独立かつ一様である。
(i) $x= z$ のとき
(*)は $y=0$ と同値であり、そのようになる確率は $\dfrac1n$ 。
(ii) $x\neq z$ のとき
$-n< x-z< n$ であるから、 $n$ と $x-z$ は互いに素。よって $(x-z)^{-1}$ が存在する。
(*)は $x+z\equiv-y^2(x-z)^{-1}$ と同値であり、そのようになる確率は $\dfrac1n$ 。
(i),(ii)より示された。
これより $p_3=\dfrac13, p_5=\dfrac15$ である。

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山梨大学2022年後期問題3