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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1991年前期理系問題4

実数a,b\quad\left(0\leq a<\dfrac\pi4,\ 0\leq b<\dfrac\pi4\right)に対し次の不等式の成り立つことを示せ.
\sqrt{\tan a\cdot\tan b}\leq\tan\left(\dfrac{a+b}2\right)\leq\dfrac12(\tan a+\tan b)

\tan a,\ \tan b\geq 0であり相乗平均≦相加平均なので(与式左辺)≦(与式右辺)…①.
\tan(a+b)の加法定理より
\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\dfrac{2\tan\frac{a+b}2}{1-\tan^2\frac{a+b}2}…②
0\leq\tan a,\ \tan b,\ \tan\left(\dfrac{a+b}2\right)<1より両辺の分子分母ともに正.
(与式左辺)>(与式中辺)と仮定すると,(②の左辺分母)<(②の右辺分母)より(②の左辺分子)<(②の右辺分子)すなわち(与式右辺)<(与式中辺)となり①に反する.
従って(与式左辺)≦(与式中辺)であるから同様に(与式右辺)≧(与式中辺).