☆3pic.twitter.com/HKCct41mll— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019 とおくとよりx>0で上に凸。 従って となるが、これは示すべき不等式の両辺をnで割ったものである。

[18]☆5pic.twitter.com/zYHzbzWzG8— 不等式bot (@Inequalitybot) November 7, 2019 0 このとき、xy≦xz≦yzであり、 x^2(y+z)=x(xy+xz)≦y(xy+yz)=y^2(x+z)≦z(xz+yz)=z^2(x+y)となる。 従って、並べ替え不等式より これより ただし、右側の不等号は相加平均≧相…

どれを解いたのか分からなくなりそうなのでまとめておく。 方針を一言で説明しづらいものは解答ページを作成していることが多い。[14] 左辺各項にa,b,c,dをかけてTitu's lemma https://twitter.com/Inequalitybot/status/1452573660267548674[15]☆4 斉次化し…

cos x + cos √2x について。#山梨医科大学 pic.twitter.com/oN8AfBnKEe— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) September 14, 2019 (1)略。 (2) (3±2√2)^5 =3^5+10*3^3*(2√2)^2+5*3*(2√2)^4±n√2 =243+2160+960±n√2 =3363±n√2 （nは整数） であり、(3+2√2)(3-2√2)=1と…

[46]☆4pic.twitter.com/X5oIMrlWLh— 不等式bot (@Inequalitybot) September 6, 2019 a≦b≦cとしてよい。 (左辺)/(右辺)=(c/b)^{(2c-a-b)/3}(b/a)^{(b+c-2a)/3}≧1。

[41]☆2pic.twitter.com/gAGtauctHt— 不等式bot (@Inequalitybot) September 1, 2019 f(x)=2sinh(x)とおくと、x≧0の範囲でf''(x)=2shih(x)≧0。 a,b,c≧1よりlna,lnb,lnc≧0であるから、 f(x)の凸性より、(左辺)=f(3lna)+f(3lnb)+f(3lnc)≧3f(lna+lnb+lnc)=(右辺)…

[187](aa+bb)^(1/2)+(aaa+bbb)^(1/3)+(a^4+b^4)^(1/4)≦3a+b☆3pic.twitter.com/4IukWTkpyA— 不等式bot (@Inequalitybot) September 1, 2019 両辺をaで割って、x=b/aとおく。 0≦x≦1のときΣ_[k=1,...,3](1+x^k)^(1/k)≦3+x を示せばよい。 (1+x/2)^2≧1+x>1+x^2 (…

☆6pic.twitter.com/6AWNMUBSVn— 不等式bot (@Inequalitybot) September 1, 2019 x=(a+b)/2, y=(a-b)/2とおくと、0≦y≦xであり、x,yは独立。 a=x+y, b=x-y, c=3-2xであるから、 ∂a/∂y=1, ∂b/∂y= -1, ∂c/∂y=0。 従って∂f/∂y=b^2-2ab-c^2+2ca=(b+c-2a)(b-c)≦0 こ…

[50]☆4pic.twitter.com/XfbwoWMibg— 不等式bot (@Inequalitybot) August 23, 2019 a≦b≦cとしてよく、このときa≦1≦cである。 (左辺)=(左辺)/(abc)^(c+a)=a^(b-a)/c^(c-b)≦1

☆2pic.twitter.com/z9CIREnkuS— 不等式bot (@Inequalitybot) August 25, 2019 a=(左辺)*6、b=xy+yz+zxとする。 108*((右辺)^2-(左辺)^2)=4(a+b)(a-b)-3a^2=(a+2b)(a-2b)≧0 ∵2(a-2b)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≧0

は上に凸であるから となる。 不等式bot[62] [62]☆1pic.twitter.com/IsZknQHqZW— 不等式bot (@Inequalitybot) August 24, 2019 としてよい。 (左辺) であり、のとき等号が成立するので最大値は。 不等式bot[23] [23]☆3pic.twitter.com/1Q9mbwk5Od— 不等式bot…

[136]☆3pic.twitter.com/GGYY7P6Juo— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月8日 (1) より(与式)≧0。 のとき、(与式)=0でありこれは最小値。 さて、(与式)であるから、x+yを固定したとき、xyが最大すなわちx=yのときに最大値をとる。 相加平均と相乗平均の関…

AD//BCなる台形ABCDがあり∠ABD=18°, ∠DBC=30°, ∠ACB=54°のとき∠ACDを求めよ。 ACとBDの交点をEとおく。辺BC上にAF=BFを満たす点Fをとる。AF=BF=1として一般性を失わない。 △ACFにおける正弦定理よりCF=AFsin∠CAF/sin∠ACF=1/(2sin54°)=1/(2cos36°)。 ここで、…

[3] ∫[0,∞]sinxcosx/(x(xx+aa))dx＝？？？(a>0)東大院試数理修士H24.A3— ΣΣΣ積分ΣΣΣbot (@Int_cal) 2018年2月4日 で上半平面の半円（原点は避ける）。

[4]∫[0,π/2]log(sinx)dx＝？？？∫[0,π/2]log(cosx)dx＝？？？— ΣΣΣ積分ΣΣΣbot (@Int_cal) 2018年2月7日 与式の値はいずれも同じ*1なのでこれをとおく。 従ってである。 [5]∫[0,π/2]θcotθdθ＝？？？東大院試H.25数理修士A4.3— ΣΣΣ積分ΣΣΣbot (@Int_cal) 2018…

[1]∫[0,∞]sin(xx)dx=???∫[0,∞]cos(xx)dx=???— ΣΣΣ積分ΣΣΣbot (@Int_cal) 2018年1月29日 [2]t>1。∫[0,∞]sin(x^t)dx=???∫[0,∞]cos(x^t)dx=???— ΣΣΣ積分ΣΣΣbot (@Int_cal) 2018年1月31日 [1]は有名なFresnel積分（値は）であり、それと同様に[2] を求める。以下…

無限級数の和Σ[n=1,∞]1/(2^n)tan{x/(2^n)}をx,tanxのなるべく簡単な式で表せ。（近畿大学第７回数学コンテスト） #math— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2010年10月31日 全てのnに対しの値があるので、xがπの整数倍となるのはx=0のときのみ。このとき与式の…

１からｎまでの数字がもれなくひとつずつ書かれたｎ枚のカードの束から同時に２枚のカードを引く。この時引いたカードの数字のうち小さい方が３の倍数である確率をp(n)とする。（中略）正の整数kに対し、p(3k＋2)をkで表せ。（１０東工大） #数学— 数学問題b…

n枚の100円玉とn＋1枚の500円玉を同時に投げたとき、表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。（０５京都）— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2017年5月16日 求める確率は裏の出た100円玉の枚数より裏の出た500円玉の枚数の…

f(x^2＋1)={f(x)}^2＋1を満たすn次の多項式f(x)が存在するような自然数nを全て求めよ。（１１東工大ＡＯ） #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2017年4月29日とおくと、題意の条件はと書ける。 また、より……(*)。 とおくとは条件を満たす次の多項式であ…

正方形ABCDを底面とし、Vを原点とする正四角錐において、底面と斜面のなす二面角が45°のとき、となりあう二斜面のなす二面角を求めよ。 このABCDを一面とし、この四角錐V-ABCDを含む立方体ABCD-EFGHを考える。 底面と斜面のなす二面角が45°なので面ABVと面BC…

a≧0とする. の範囲で曲線, 直線y=ax, 直線によって囲まれた部分の面積をS(a)とする. このとき, S(a)の最小値を求めよ. （ここで「囲まれた部分」とは, 上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする.） 直線と曲線の位置関係を考える…

実数の関数 の最大値と最小値を求めよ. とおくと、である。 （をに変数変換）。 従ってf(x)は周期πの周期関数であるから、の範囲で考えればよい。 更に（をに変数変換）。 であることに注意すると、の範囲で考えればよい。 ここで であり、 となるが、の範囲…

p,qを自然数, ,を を満たす実数とする. このとき, を満たすp,qの組(p,q)をすべて求めよ. よりであるから、 の両辺をで割ってとなる。 これよりである。 ここで、ならば(☆)が成立する。 さて、を既約分数で表すことを考える。aは2p-1の約数なので奇数であるか…

四面体OABCを考える. 点D, E, F, G, H, Iは, それぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり, 頂点ではないとする. このとき, 次の問に答えよ. (1)とが平行ならばAE:EB=CF:FBであることを示せ. (2)D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき, これらの点…

nを自然数とする. n個の箱すべてに, , , , , の5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている. 各々の箱から1枚ずつカードを取り出し, 取り出した順に左から並べてn桁の数Xを作る. このとき, Xが3で割り切れる確率を求めよ. Xを3で割った余りをR(X)とする…

(41)各空欄に＋、－、×、÷のいずれかを入れて、下の等式を完成させよ。ただし空欄のままにして数字を繋げるのは無しとする。1□2□3□4□5□6□7□8□9□10=2015— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2017年2月2日 nとn+1の間に入る演算子をとする。以下の三点に注意…

とするとき， を求めよ． より.. 従って. はさみうちの原理により.

任意の自然数に対して，常に不等式 が成立するような最大の整数を求めよ。 与えられた不等式の左辺をA(n)とおく。 である。 ここで、であるから、 . また、であるから、 . 以上より、求める整数である。

数列を次のように定める。 (1)がnによらないことを示せ。 (2)すべてのに対し、をのみを使って表せ。 (3)数列を次のように定める。 すべてのに対し、を示せ。 (1) すべてのに対しであるから、 となりnによらない。 (2) (1)の途中式よりすべてのに対し である…