箱庭数学
問題略 は15の倍数であり、15より大きい（∵p≧2）。つまり、3つ以上の素数の積で表される数であるから、とがともに素数になることはない。 なぜなのかよく分からないのだが、普通に解いたときに法が2ではダメだが3でも5でもうまくいくようにしたかったのだろ…
問題略 これらのうちの一つをzとする。はいずれも求める3つの複素数のいずれかなので、このうち少なくとも二つは等しい。 従ってかかが成り立つので （ただし、）。 求める3数にが含まれないとすると、は含まれるためが含まれることに矛盾。 よっては含まれ…
空間内に四面体ABCDを考える。このとき、４つの頂点A,B,C,Dを同時に通る球面が存在することを示せ。（１１京大・理） #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2022年8月2日 A,B,Cを同時に通る相異なる球面をそれぞれf(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0とする*1。Dの座標…
坂井豊貴『社会的選択理論への招待』の定理1が「ボルダ勝者はペア全敗者ではない。」である*1。この証明はボルダがボルダルールを導入した論文*2 にも載っていないらしく、〈実際のところ、その証明のようなものが与えられるのは約200年後のFishburn and Geh…
[26]a,bを自然数とする。a³+b³が素数の整数乗となるa,bを求めよ(1984東工大、易)— 整数問題bot (@seisu_bot) 2021年1月19日 aとbの最大公約数をgとし、とおく。 が素数の整数乗ならばg, s, tはいずれも同じ素数の整数乗。 (i)x=yのとき x=y=1よりs=2であるか…
数学100の勝利 Heinrich DörrieのTriumph der Mathematik. Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur は歴史的に有名な問題を紹介した本。初等的なものが多いが、リンデマンの定理が出てきたりもする（証明までは載っていな…
pic.twitter.com/bZRZ0ales8— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年12月4日 2数の比は。 ここで、 であるから、 。 従ってである。 文系だと誘導がついており、関数の増減を調べさせている。（名大文系 1980前期 3）
問題172 pic.twitter.com/nCtufywOJQ— 不等式bot (@Inequalitybot) 2020年11月21日 とにCauchy–Schwarzでより。 とにCauchy–Schwarzでであるから。 Titu's Lemmaを使って 。 はもっと簡単に示せそうな気がする。
問題略 Aが0点以外の得点となるのは、AとBが異なる目を出し、かつAの出目の方が大きいときである。この確率は。 このとき、AとBの出目をそれぞれXとYとする。 。 また、より。 以上より。 従って求める期待値は。
問題略 文字を書いている途中で文字列の長さがとなる確率をとする。 のとき、文字列の長さがk+1とならないのは、文字列の長さがkとなり、その次にAAと書く場合のみであるからである。 と合わせてこの漸化式を解くと 。 ここでであるから、これはで成立する。…
問題文 大学入試数学問題集成 > 2009 奈良県立医科大学 前期医学科MathJax (function (){ if(document.body.scrollWidth > 1000){ const iframe = document.getElementById('problem'); iframe.height = '200px'; }}()); を満たすある整数の組を考える。 を…
値を求めてください。#2020年度#大学入試#山梨大学 pic.twitter.com/zQ3HyxciI0— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年7月9日 tanの加法定理よりであるから なので 他も同様にして(与式)=8。
東京理科大の問題です。様々な分野の様々な基本事項・重要事項の確認ができる問題かと思います。ぜひ試してみてください。#2020年度#大学入試#東京理科大学 pic.twitter.com/VUEzUpDAjc— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年5月16日 (1) である。(2) の両辺…
wakaranailog.hatenablog.com 新潟大の問題です。複素数平面の標準的なレベルで、基本事項が多く含まれています。複素数平面が苦手な人は、ぜひどうぞ。#2020年度#大学入試#新潟大学 pic.twitter.com/F3LxvEEawz— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年5月9日 …
新潟大2020 - shaitan's blogと同じように解いた問題があったので貼っておく。4個のサイコロを投げて出た目の数の和を4で割ったときの余りを考える。余りがいくらになるときが最も確率が大きいか求めよ。（０７京都高校生数学コンテスト） #math— 数学問題bo…
2020 新潟大学 前期MathJax (1) 各位の数をとする。 は各位の数の合計が奇数のとき（複号同順）、偶数のときであるから、 。 つまり。(2) は各位の数の合計が奇数のときに純虚数、4の倍数のときに1、それ以外で-1であるから、 。 従って。(3) はで1に収束す…
wakaranailog.hatenablog.com 新潟大の問題です。方程式の整数解の基本的な問題です。この内容での基本事項の確認・演習用として、どうぞ。#2020年度#大学入試#新潟大学 pic.twitter.com/UBz5nrP98t— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年5月7日 (1)(2) （略…
wakaranailog.hatenablog.com 電気通信大の問題です。学習教材として考えるなら、解き終わったときの感想が、その人の意識や学習の方向性や興味の持ち方によっていろいろ分かれそうです。問題自体が解ければそれで良いのかどうか。#2020年度#大学入試#電気通…
一橋大の後期の問題です。(1)と(2)はよく見られるような問題だと思います。(3)はどうですか？#2020年度#大学入試#一橋大学 pic.twitter.com/m2Z3tTksA3— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年4月10日 (1) より示された。(2) を満たす任意の整数を考える。 で…
東京理科大の問題です。どう解きますか？『等差数列』を使って解いた人は、『等差数列』の条件をはずした場合にどうなるかを考えてみてください。#2020年度#大学入試#東京理科大学 pic.twitter.com/hjS1LHbUcj— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年4月21日 …
wakaranailog.hatenablog.com 徳島大の問題です。素数がたくさん並んでいます。等差素数列。#2020年度#大学入試#徳島大学 pic.twitter.com/GesnwL9Qxk— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年5月2日 (1)（略）*1 (2) は等差数列なのでであるが、よりは奇数なの…
学習院大の問題です。とてもとても基本的な問題です。この問題の解き方はいろいろ考えられますが、どういう解き方をするのかで、その人の様々なことが分かると思います。複素数平面が苦手な人は、ぜひいろいろな解き方を試してみてください。#2020年度#大学…
2以上の自然数nに対して、不等式 が成り立つことを示せ。 (左辺)
nを3以上の整数とする。n個の球とn個の空（から）の箱がある。以下のように、の順番に、球を箱に1つずつ入れていく。 まず、球を箱のどれか1つに無作為に入れる。次に、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りのn-1個の空の箱のどれか1つに無作為…
1次式に対してが成り立つとする。このときとはともにの定数倍であることを示せ。 であり、左辺は2次式なのではいずれも1次式。がで割り切れるので、はで割り切れる。つまり（は定数）とおけるが、このとき。についても同様。 途中は「因数分解は定数倍と順序…
f(x)はxの3次式で、f(x)をその導関数f'(x)で割ったときの余りは定数である。このとき方程式f(x)=0をみたす実数はただ一つであることを示せ。 f(x)が単調、つまり極値をもたないことを言えばよい。極大値、極小値をもつとして矛盾を示す。 極大、極小値を与え…
n個(n≧3)の実数があり、各は他のn-1個の相加平均より大きくないという。 このようなの組をすべて求めよ。 とおく。 条件は任意のiに対し ⇔ …(*) iについて1からnまでの和をとるとより等号成立するから、すべてのiについて(*)の等号が成立する。 つまり、 (a…
a+b+c=0を満たす実数a,b,cについて、が成り立つことを示せ。 また、ここで等号が成り立つのはどんな場合か。 (左辺)-(右辺)+(a+b+c)^2=2(|ab|+ab)+2(|bc|+bc)+2(|ca|+ca)≧0より成立する。 等号成立は、ab=-|ab|かつbc=-|bc|かつca=-|ca|つまりab≦0かつbc≦0か…
一辺の長さが1の正三角形ABCの辺AC上にDをとり、線分BDに沿ってこの三角形を折り曲げ、4点A, B, C, Dを頂点とする四面体を作り、その体積を最大にすることを考える。体積が最大になるときのDの位置と、そのときの四面体の体積を求めよ。 辺ACの中点をMとする…
自然数はどちらも3で割り切れないが、は81で割り切れる。このようなの組のうち、の値を最小にするものと、そのときのの値を求めよ。 が3で割り切れることよりは3の倍数。 である。は9の倍数であり、は3の倍数だが9の倍数でないから内は3の倍数だが9の倍数で…
